In questa lezione parliamo di espressioni aritmetiche, scopriamo in che modo si possono risolvere e proponiamo alcuni esempi pratici in modo da comprendere meglio l’argomento.

Le espressioni aritmetiche

In matematica, per espressione aritmetica o semplicemente espressione si intende una sequenza di operazioni da eseguire su più numeri.
Ogni numero è separato dagli altri numeri da un simbolo di operazione o da opportune parentesi.

Esempi

Vediamo alcuni esempi di espressioni aritmetiche:

  • 5 + 1 x 3 + 4 : 2 - 9
  • 4 + 2 x 5 - 3
  • 9 - 2
  • ( 8 + 2 ) : 2
  • [ ( 9 + 4 ) x 2 ] + 6 : 2

Risolvere un’espressione

Risolvere un’espressione significa trovare il numero finale una volta svolte tutte le operazioni. Questo numero finale viene chiamato soluzione dell’espressione. Facciamo un esempio e capiamo meglio la questione. La soluzione dell’espressione formata da una sola operazione 9 - 2 è 7.

L’ordine delle operazioni

Come prima cosa analizziamo come si risolvono le espressioni aritmetiche che non contengono parentesi. Nel caso in cui abbiamo una sola operazione, come nell’esempio precedente, è chiaro come trovare la soluzione dell’espressione, quando invece le operazioni coinvolte sono più di una, ci sono delle regole che dobbiamo seguire per risolvere l’espressione.

Queste regole riguardano l’ordine in cui vanno eseguite le diverse operazioni, in ordine di priorità:

  • Potenze
  • Moltiplicazioni e divisioni
  • Addizioni e sottrazioni

A parità di priorità si procede nell’ordine in cui sono scritte cioè da sinistra verso destra.

Esempio
Consideriamo la seguente espressione

4 + 2 x 5 – 3

Non ci sono potenze allora passiamo alle moltiplicazioni, ce n’è solo una “2 x 5” e si svolge per prima; la nostra espressione diventa:

4 + 10 – 3.

A questo punto abbiamo solo addizioni e sottrazioni, che hanno la stessa priorità e quindi si svolgono nell’ordine in cui sono state scritte, iniziando con “4 + 10” l’espressione diventa

14 – 3.

Adesso svolgendo l’ultima operazione “14 - 3” otteniamo la soluzione dell’espressione: 11.

Attenzione: Se non avessimo seguito le regole per l’ordine delle operazioni ma l’avessimo eseguite solamente nell’ordine in cui sono scritte avremmo ottenuto un risultato diverso ed errato.

Le parentesi nell’espressione aritmetica

Le parentesi che vengono usate nelle espressioni aritmetiche possono essere di diverso tipo. Esistono 3 tipi di parentesi: le parentesi tonde, le parentesi quadre e le parentesi graffe.

  • Per prime si svolgono le operazioni racchiuse in parentesi tonde ( ... )
  • Poi si passa alle operazioni racchiuse tra parentesi quadre [ … ]
  • Per finire si passa alle operazioni racchiuse tra parentesi graffe …

Sempre seguendo le regole che gestiscono l’ordine delle operazioni! Finito di svolgere le operazioni all’interno di una parentesi, si elimina la parentesi.

Esempio
Consideriamo la seguente espressione con parentesi:

[ 3 + (3 + 3 x 2 ) : 3 + ( 1 + 3 ) ] + 5 – 1 .

Si svolgono prima le operazioni tra parentesi tonde “3 + 3 x 2” e “ 1 + 3 ” rispettando l’ordine delle operazioni ( per svolgere “3 + 3 x 2” si calcola prima “3 x 2” e poi si calcola “3 + 6”). La nostra espressione diventa:

[ 3 + 9 : 3 + 4 ] + 5 – 1 .

C’è un’unica parentesi quadrata che racchiude “3 + 9 : 3 + 4”. Seguendo l’ordine delle operazioni (prima la divisione e poi le somme nell’ordine in cui sono scritte) la nostra espressione si semplifica in

10 + 5 - 1

Svolgendo gli ultimi conti otteniamo come risultato 15 – 1 = 14 che è la soluzione della nostra espressione.
Chiaramente le regole che abbiamo qui esaminato si estendono al caso in cui i numeri non siano interi.

Nella prossime lezioni parleremo delle proprietà di cui godono le diverse operazioni, in modo da approfondire l’argomento e capire come muoversi in questo argomento.