Nell’ultima lezione abbiamo visto cosa si intende per scomposizione in fattori primi di un numero e come trovarla nella pratica. In questa e nella prossima lezione parleremo invece rispettivamente di massimo comune divisore e minimo comune multiplo.

A questo scopo faremo largo uso della scomposizione in fattori primi di un numero e quindi, se non ti è ancora chiara, ti consiglio di tornare a dare un’occhiata alla scorsa lezione. La scomposizione in fattori primi è infatti un elemento fondamentale per proseguire in questa lezione e se non la si ha ben chiara sarà bene fare un ripasso approfondito.
Vediamo adesso come si calcola il massimo comun divisore, M.C.D, e facciamo qualche esempio per rendere chiara la questione.

Massimo comune divisore: definizione

Per massimo comune divisore di due o più numeri, così come dice il termine stesso, si intende il più grande numero che divide tutti i numeri di partenza. Se volessimo quindi dare una definizione, il massimo comun divisore si potrebbe definire come: il massimo comune divisore di due o più numeri è il più grande tra tutti i divisori comuni.

Dati dei numeri a, b, c, il massimo comune divisore di questi numeri si indica utilizzando la seguente scritture:

M.C.D(a,b,c).

Due numeri che hanno massimo comune divisore pari a 1 vengono detti relativamente primi o più comunemente coprimi.

Come trovare il massimo comune divisore

La definizione di massimo comune divisore è abbastanza semplice, mentre un po’ meno chiaro è forse potrebbe essere come si trova. Vediamo quindi come si fa, così da avere la questione chiara.

Supponiamo di avere dei numeri di cui vogliamo trovare il massimo comune divisore. Come prima cosa scriviamo la scomposizione in fattori primi di questi numeri. Scriviamo da parte tutti i fattori primi comuni in tutte le scomposizioni ed eleviamoli alla potenza più piccola con cui appaiono nelle fattorizzazioni.
Il massimo comune divisore non sarà altro che il prodotto tra tutti questi numeri che abbiamo messo da parte.

Per chiarire la questione facciamo unesempio. Supponiamo di voler trovare il massimo comune divisore di 540 , 252, 4620 cioè vogliamo trovare M.C.D(540, 252, 4620).

Come abbiamo detto per prima cosa dobbiamo trovare la scomposizione in fattori primi di questi 3 numeri.
$540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3$

$252 = 2 x 2 x 3 x 3 x 7$

$4620 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 x 11$

Possiamo riscrivere la fattorizzazione in maniera più compatta mettendo insieme i fattori uguali nella stessa scomposizione elevando al numero di volte in cui un fattore compare all’interno della fattorizzazione invece che riscriverlo più volte:

$540 = 5 x 2^2 x 3^3$

$252 = 2^2 x 3 ^2 x 7$

$4620 = 2^2 x 3 x 5 x 7 x 11$.

A questo punto possiamo identificare quali sono i fattori che appaiono in tutte le scomposizioni; questi fattori sono 2 e 3 . Il 2 appare alla seconda come minima potenza, mentre il 3 appare con uno come minima potenza.

Per concludere avremo che $M.C.D(540, 252, 4620)= 2^2 x 3 = 12.$.
Il massimo comune divisore tra i numeri iniziali era 12. In effetti 12 divide i tre numeri e non esiste nessun numero più grande che riesce a dividere contemporaneamente i tre numeri.

Facciamo adesso un altro esempio e questa volta prendiamo numeri più grandi, per i quali trovare il massimo comun divisore potrebbe sembrare più complesso.
Proviamo a trovare il massimo comune divisore dei seguenti due numeri 2700 e 1260. Vogliamo in altre parole trovare M.C.D (2700, 1260).

Come prima cosa troviamo la scomposizione in fattori primi di questi numeri e scriviamola in forma compatta.

$2700 = 5^2 x 2^2 x 3^3 $

$1260 = 2^2 x 3 ^2 x 5 x 7$

A questo punto moltiplichiamo tra di loro i fattori comuni elevati alla potenza minore con cui appaiono nella scomposizione, abbiamo che

$ M.C.D(2700, 1260) = 2^2 x 3^2 x 5 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180$

Come prova possiamo osservare che effettivamente 180 divide entrambi i numeri e non riusciamo a trovare nessun divisore comune di 2700 e 1260 che sia più grande di 180.

Ora che abbiamo capito in che modo funziona il massimo comun divisore, nella prossima lezione parleremo invece di cosa si intende per minimo comune multiplo tra numeri e come trovarlo.