Continuiamo a parlare di frazioni dopo aver scoperto come si possano sommare o sottrarre in questa lezione vediamo come procedere nel caso del prodotto e della divisione.

Richiamo
Data una frazione $\frac{a}{b}$ ricordiamo che
$a$ viene chiamato numeratore della frazione,
$b$ viene chiamato denominatore della frazione.

Per moltiplicare o dividere tra di loro due frazioni, non è necessario che queste abbiano lo stesso numeratore o lo stesso denominatore, vediamo nel dettaglio come procedere nel caso del prodotto.

Prodotto tra frazioni

Il prodotto di due frazioni è un’operazione particolarmente semplice. Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha come numeratore il prodotto dei numeratori delle due frazioni di partenza e come denominatore, il prodotto dei denominatori delle due frazioni di partenza.
In formule

$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

Esempio
Vediamo ad esempio quanto vale il prodotto tra le seguenti due frazioni:

$$ \frac{2}{3} \qquad \frac{1}{2}$$

Abbiamo che

$$ \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2 \times 1}{3 \times 2} = \frac{2}{6}.$$

Consideriamo invece le seguenti due frazioni:

$$ \frac{4}{3} \qquad \frac{2}{5} $$

Il loro prodotto è dato da

$$ \frac{4}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4\times 2}{3 \times 5} = \frac{8}{15}.$$

Osservazione
Chiaramente prima di fare la moltiplicazione possiamo ridurre ognuna delle frazioni ai minimi termini in modo da minimizzare la grandezza dei numeri da moltiplicare. Un altro modo per evitare di dover fare conti più complicati è quello di procedere con semplificazioni a croce come mostrato nel seguente esempio.

Esempio
Supponiamo di dover moltiplicare

$$ \frac{16}{9} \qquad \frac{3}{4}$$

Facendo i conti direttamente avremmo

$$ \frac{16}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{16 \times 3}{9 \times 4} = \frac{48}{36}.$$

Quello che possiamo fare invece è dividere per 4 il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda frazione, e dividere per 3 denominatore della prima e numeratore della seconda.

A questo punto la nostra operazione diventa

$$ \frac{4}{3} \times \frac{1}{1} = \frac{4 \times 1}{3 \times 1} = \frac{4}{3}.$$

Sembra venire un risultato diverso. In realtà i due risultati sono equivalenti, infatti riducendo ai minimi termini $ \frac{48}{36} $ come spiegato nelle lezioni precedenti si ottiene proprio $ \frac{4}{3} $.

Definizione

Data una frazione $ \frac{a}{b} $, si dice frazione inversa la frazione che ha come numeratore il denominatore della prima e come denominatore il numeratore della prima; in formule, la frazione $ \frac{b}{a} $.

Divisione fra frazioni

La divisione tra frazione è molto semplice e si appoggia sulla procedura di moltiplicazione.
Se dobbiamo dividere una frazione per un’altra il risultato è lo stesso che si ha moltiplicando la prima frazione per la frazione inversa della seconda.

In formule

$$ \frac{a}{b} : \frac{d}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

Esempio
Vediamo ad esempio quanto vale la divisione tra le seguenti due frazioni:

$$ \frac{2}{3} \qquad \frac{2}{1}$$

Abbiamo che

$$ \frac{2}{3} : \frac{2}{1} =\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2 \times 1}{3 \times 2} = \frac{2}{6}.$$

Consideriamo invece le seguenti due frazioni:

$$ \frac{4}{3} \qquad \frac{5}{2} $$

La loro divisione è data da

$$\frac{4}{3} : \frac{5}{2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4\times 2}{3 \times 5} = \frac{8}{15}.$$

Semplice vero? Nella prossima lezione parleremo dell’ultima operazione tra frazioni che ancora non abbiamo trattato: l’elevamento a potenza.