Nella scorsa lezione abbiamo parlato di numeri primi, quei numeri che non hanno solo due divisori, 1 e il numero stesso. Abbiamo detto che questi numeri sono in qualche senso gli atomi dei numeri e che si tratta di una parte dell’aritmetica molto importante.
Tutti gli altri numeri, quelli che non sono primi, sono detti invece numeri composti e vedremo che un numero composto può sempre essere espresso come prodotto di numeri primi; questo è esattamente l’enunciato del teorema fondamentale dell’aritmetica.

Il teorema fondamentale dell’aritmetica dice infatti che : Ogni numero naturale può essere espresso in modo unico (a meno dell’ordine) come prodotto di numeri primi.

Osservazione
È chiaro che un numero può essere scritto in maniera diversa se contiamo ordini diversi e questo avviene per la proprietà commutativa del prodotto. Per intenderci è vero che:
$15 = 5 x 3$

E allo stesso tempo, per la proprietà commutativa del prodotto abbiamo

$15 = 3 x 5$

Il teorema però ci assicura che a parte un cambio di ordine nei fattori, non ci sono altri modi di scrivere il numero 15 come prodotto di numeri primi.

Scomposizione in fattori primi

Scomporre un numero in fattori primi significa appunto trovare la fattorizzazione del numero come indicata dal teorema fondamentale dell’aritmetica, che abbiamo enunciato in apertura di lezione.

Facciamo un esempio, così si potrà comprendere bene sin da ora tutta la questione. Cerchiamo la scomposizione in fattori primi del numero 2520, dobbiamo in altri termini trovare tutti i divisori che sono numeri primi di 2520.

2520 finisce per 0 che è un numero pari dunque 2520 è divisibile per 2; abbiamo che
$2520 = 1260 x 2$ . Abbiamo cioè trovato uno dei fattori primi di 2520: il numero 2.

Continuiamo a fattorizzare quello che manca, 1260.
1260 è ancora un numero divisibile per 2
$1260 = 315 x 2$
allora abbiamo che
$2520 = 1260 x 2 = 315 x 2 x 2$

A questo punto 315 non è più divisibile per 2 perché termina per 5 che è un numero dispari.
Proviamo a vedere se è divisibile per 3: sommando le cifre di 315 si ottiene
3 + 1+ 5 = 9 che è un multiplo di 3, allora utilizzando il criterio di divisibilità per 3 di cui abbiamo parlato nelle scorse lezioni abbiamo che 315 è divisibile per 3 e si ha
$315 = 105 x 3$

da cui
$2520 = 105 x 3 x 2 x 2$

Utilizzando ancora il criterio di divisibilità per 3 otteniamo che $105 = 35 x 3$ , da cui:
$2520 = 35 x 3 x 3 x 2 x 2$

A questo punto sempre per via del criterio di divisibilità per 3, ci accorgiamo che 35 non è più divisibile per 3. D’altro canto 35 termina con 5 dunque è divisibile per 5 e si ha:
$35 = 7 x 5 $

da cui
$2520 = 7 x 5 x 3 x 3 x 2 x 2$

A questo punto, dato che 7 è un numero primo, non ho più speranza di fattorizzare ancora. Quest’ultima trovata è infatti la scomposizione in fattori primi del numero 2520. Come avete visto facendo un piccolo passo alla volta e scomponendo pezzetto per pezzetto il nostro numero, siamo riusciti in modo abbastanza agevole a scomporre in fattori.

Nella prossime lezioni parleremo di minimo comune multiplo e massimo comune divisore fra due numeri. A questo scopo useremo svariate volte il procedimento di scomposizione in fattori primi visto in questa lezione.