Il calcolo stocastico è un processo matematico che permette comprendere meglio fenomeni che sono influenzati da eventi casuali. In finanza il calcolo stocastico è particolarmente apprezzato e soprattutto applicato e proprio per questa ragione è bene comprende meglio cos’è e in che modo si applica ai processi finanziari.

Perché si usa il calcolo stocastico?

Il calcolo stocastico sostituisce il calcolo differenziale ed integrale classico ogni volta che si vuole studiare un fenomeno la cui evoluzione temporale è influenzata da eventi casuali ed è quindi soggetta a notevole imprevedibilità.
In particolare, nel settore finanziario non è possibile prevedere con esattezza il prezzo futuro di un dato titolo, ad esempio di un’azione, conoscendone la storia passata, perché questo presenta un’influenza del caso.
Nonostante questo dei software chiamati "indicatori stocastici" sono utilizzati nel trading online per tentare di prevedere il possibile andamento dei prezzi nel futuro.

Infatti un evento del tutto imprevedibile, come il fallimento di una società, lo scoppio improvviso di un conflitto, la caduta di un governo, un atto terroristico di notevole violenza possono produrre delle forti oscillazioni nel prezzo dei titoli quotati in Borsa.

I fenomeni la cui evoluzione temporale è casuale sono descritti mediante i processi stocastici studiati appunto nell’ambito del calcolo stocastico, basato sulla teoria della probabilità. Tutti concetti che andremo ad approfondire di seguito e che scopriremo meglio nei prossimi paragrafi.

Determinismo contro non determinismo

Prima di dare la definizione formale di processo stocastico ci proponiamo di evidenziare la differenza concettuale tra processo deterministico e processo stocastico e di mostrare la necessità di ricorrere al calcolo stocastico per introdurre modelli matematici per la valutazione di titoli finanziari rischiosi come azioni e opzioni.
L’evoluzione temporale di moltissimi fenomeni che intervengono in fisica, ingegneria, chimica, biologia, nelle scienze sociali e in altri campi è governata da un’equazione differenziale ordinaria o da un sistema di equazioni di tale tipo.

Com’è noto, un’equazione differenziale ordinaria è una relazione tra una variabile indipendente \(t \) (che nel nostro caso assume il significato fisico di variabile temporale), una funzione incognita di questa variabile, \( xt\) , ed alcune sue derivate. Si definisce poi ordine dell’equazione l’ordine della derivata di ordine massimo della funzione incognita che compare nell’equazione stessa. Un’equazione differenziale ordinaria di ordine \( m \) si presenta perciò nella forma:

$$ F(t, x, x′ , ..., x^{(m)} ) = 0 $$

dove \( F\) è una funzione reale di \( m + 2\) variabili reali, assegnata in un aperto \( D subset R^m+2\) . Se la funzione \( F \) è una funzione vettoriale, non abbiamo più un’equazione differenziale ma un sistema di equazioni differenziali.
Se allora abbiamo un fenomeno che dipende dal tempo, individuato dalla funzione \ (xt\) soddisfacente l’equazione differenziale ordinaria o da una ennupla di funzioni soddisfacente il sistema differenziale, sotto opportune ipotesi, note le condizioni iniziali, siamo in grado di prevedere con esattezza come evolve al trascorrere del tempo.
Diciamo allora che un fenomeno siffatto è descritto mediante un processo deterministico.

Esempio
Ad esempio se vogliamo stabilire quale posizione occuperà all’istante \( t \) il punto materiale libero \(P, m\), di massa \(m \), in moto rispetto ad un dato osservatore, note la forza totale agente sul punto e la posizione e la velocità del punto stesso all’istante iniziale. Il moto del punto, com’è noto, è governato dall’equazione fondamentale della dinamica:

$$ m a = F (t, P, v ) \qquad \mbox{ dove } \; \; a=x’’(t), \quad v=x’(t), \quad P= x(t)$$

Note le condizioni iniziali \( xt_0, x’t_0\) e sotto opportune ipotesi di regolarità della funzione \(F \) siamo in grado di determinare tutta la traiettoria del punto \( P\) . Tale processo fisico descritto mediante un processo deterministico.

Applicazione del calcolo stocastico in Finanza Matematica

Dunque tutti quei fenomeni che sono governati da un’equazione differenziale ordinaria o da un sistema di equazioni differenziali ordinarie (per i quali sussistono teoremi di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy) sono descritti mediante processi deterministici, perché associando le condizioni iniziali possiamo prevederne con esattezza l’evoluzione. Ma possiamo avere molti altri fenomeni la cui evoluzione non è prevedibile, perché viene influenzata da eventi casuali.

In particolare nel settore finanziario, non è possibile prevedere con esattezza il prezzo futuro di un dato titolo rischioso, ad esempio un’azione, conoscendone la storia passata, perché questo presenta un’influenza del caso. Infatti un evento del tutto imprevedibile, come il fallimento di una società, lo scoppio improvviso di un conflitto, la caduta di un governo, un atto terroristico di notevole violenza possono produrre delle notevoli oscillazioni nel prezzo dei titoli quotati in Borsa. Ne è un esempio il terremoto prodotto su tutte le Borse mondiali dall’attentato alle Torri Gemelle di New York.
A causa delle frequenti ed intense variazioni dovute ad eventi casuali la funzione che alla variabile temporale \(t\) associa il valore di un’azione non risulta derivabile e dunque non può essere soluzione di un’equazione differenziale ordinaria. Per descrivere quei fenomeni la cui evoluzione è influenzata da eventi casuali non è più adeguata l’analisi matematica classica ed occorre introdurre i processi stocastici studiati nell’ambito del calcolo stocastico che, come già abbiamo osservato, è basato sulla teoria della probabilità.

Per un fenomeno descritto mediante un processo stocastico non è possibile prevederne l’evoluzione con esattezza, ma ci si limita solo a fare delle previsioni sulle sue possibili evoluzioni a seconda degli stati che si possono presentare.

Definizione formale di processo stocastico

Sia \( \Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P} \) uno spazio di probabilità e sia \(Lambda\) un insieme non vuoto, i cui elementi sono gli istanti che vengono presi in considerazione ai fini dello studio del fenomeno evolutivo. In genere avremo \(Lambda= [0, \infty] oppure Lambda = [0, T]\) o un sottoinsieme numerabile di \( \mathbb{R} \) o anche \( \mathbb{N} \).

Definizione
Un processo stocastico è un’applicazione

$$ X : \Lambda × \Omega \to \mathbb{R} \qquad ( \mathbb{R}^n ) $$


tale che \(\forall t \in \Lambda \)

$$ X(t, ·) : \Omega \to \mathbb{R} \qquad (\mathbb{R}^n ) $$

è una variabile casuale sullo spazio di probabilità (\Omega , \mathcalA, \mathbbP\)

Definiamo realizzazione o traiettoria o funzione campione del processo stocastico relativa allo stato \( \omega\) fissato in \(\Omega \) la funzione del tempo

$$ X(·, \omega) : \Lambda \to \mathbb{R} \qquad ( \mathbb{R}^n ).$$

Dunque un processo stocastico si può vedere come una famiglia di variabili casuali dipendente dal parametro reale \( t \) che varia in \( Lambda\) o come l’insieme di tutte le funzioni campione relative agli stati, che sono funzioni del tempo definite in \(Lambda\)
Se \(Lambda\) è un’infinità numerabile di istanti \({t_i}_{i=1,2..}\) o se \(Lambda = \mathbb{N}\) si parla di processo stocastico discreto o di successione di variabili casuali.

Tra i modelli che usano calcolo stocastico, citiamo i più importanti per completezza: Martingale, Processi di Wiener e Moti Browniani, modello di Black e Scholes. Per essere studiati, descritti e usati in ambito finanziario, sono necessarie nozioni di teoria della misura e dell’integrazione (e le sue applicazioni alla probabilità), le definizioni e le proprietà di integrale stocastico (per esempio nella versione di integrale di Ito) e calcolo differenziale stocastico (differenziale stocastico e equazioni differenziali stocastiche) .