Distinguere numeri primi e numeri composti è stato di interesse per gli uomini sin dai tempi antichi. Il più famoso e anche vecchio metodo per individuare i numeri primi, che è un algoritmo, è il crivello di Eratostene. In che cosa consiste questo metodo? Cerchiamo di capire insieme attraverso una spiegazione e un esempio come funziona il crivello di Eratostene, altrimenti detto il setaccio per numeri primi.
Con questa spiegazione sarà più semplice spiegare ai bambini un concetto che spesso può non risultare così immediato ma che è utilissimo nell’ambito della comprensione di come funzionano i numeri primi e quali differenze ci sono con i numeri complessi.

Cos’è il crivello di Eratostene e come funziona?

Il crivello di Eratostene, come anticipato, è un antico metodo che permette di trovare tutti i numeri primi minori o uguali a un dato numero. Per semplificare questo concetto si può paragonare il crivello di Eratostene a un setaccio, quello strumento che quasi ogni bambino si è trovato ad utilizzare sulla spiaggia per setacciare - appunto - la sabbia. Così come il setaccio per la sabbia lascia cadere i granelli e trattiene solamente ciò che è di una dimensione superiore, il crivello di Eratostene si può riempire di numeri ed esso lascerà cadere i numeri composti per trattenere solamente i numeri primi. Come è possibile?

Cerchiamo di capire insieme come funziona il crivello di Eratostene. Scegliamo, come esempio, di determinare i numeri primi che sono più piccoli di 50 iniziando col costruire una tabella che va da 1 a 50.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 42 44 45 46 47 48 49 50

Osservando questa tabella si comincia innanzitutto escludendo il numero 1, che non è né un numero primo né un numero composto, andando poi a cerchiare il numero 2. A questo punto si procede eliminando dalla tabella con una croce tutti quelli che sono i numeri multipli di 2, ovvero i risultati della tabellina del 2 e tutti quelli a seguire fino a 50: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 24, 26, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50.
Il successivo numero non setacciato è il numero 3. Si procede cerchiando il 3, appunto, e andando ad eliminare dalla tabella con una croce tutti quelli che sono multipli di 3 fino a 50 (alcuni dei quali saranno già stati precedentemente eliminati perché multipli di 2), ovvero: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48.
Dopo il 3 si trova il 5, che va cerchiato, andando poi a fare la stessa operazione. Croce sui multipli di 5, quindi, sempre fino a 50: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.

Fatti questi esempi il meccanismo dovrebbe essere chiaro: si tratta in sostanza di un algoritmo che consiste in tre passaggi totali. Si parte prendendo in considerazione il numero non setacciato, cerchiandolo, e si procede eliminando tutti i suoi multipli fino al numero fissato.
Arrivando fino a 50 i numeri che risulteranno cerchiati seguendo questo meccanismo sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Questi sono tutti i numeri primi minori o uguali a 50. Quelli cancellati sono, invece, i numeri composti.

E per i bambini che hanno difficoltà a calcolare i multipli, ovvero con le tabelline?
In questo caso c’è un piccolo trucchetto che si può utilizzare proprio osservando la tabella.
Per chi ha difficoltà con i numeri primi basta, una volta cerchiati, contare in avanti tante caselle quante il numero primo in questione. La cella raggiunta sarà quella di un multiplo del numero primo e, di conseguenza, andrà cancellata. Si può procedere così, contando tante caselle quante il numero primo in analisi, fino a esaurire tutti quanto i multipli della tabella.

Ricordiamo che ciò che otterremo con il crivello di Eratostene è isolare tutti quelli che si definiscono numeri primi, ovvero i numeri naturali maggiori di 1 divisibili solo per 1 e per se stessi. I numeri primi sono infiniti.