Addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione godono di molte proprietà. La proprietà commutativa accomuna addizione e moltiplicazione ed è la più conosciuta tra le proprietà delle operazioni aritmetiche.
La proprietà commutativa è senza alcun dubbio una delle più utilizzate in aritmetica ma anche, probabilmente, una di quelle che passa maggiormente inosservata dato che la utilizziamo spesso e nemmeno ce ne rendiamo conto. Oggi proviamo a capire quanto la proprietà commutativa semplifichi i conti quando si tratta di cose della vita di tutti i giorni. Quando è possibile usarla?

La proprietà commutativa, come già accennato, vale solo per due delle quattro operazioni di base dell’aritmetica che sono addizione e moltiplicazione. Tra le altre proprietà di cui invece possono godere anche sottrazione e divisione vi ricordiamo la proprietà invariantiva, la proprietà distributiva e le proprietà associativa e dissociativa.
Ma come funziona la proprietà commutativa? Diamo innanzitutto una
definizione:

La proprietà commutativa dice che cambiando l’ordine degli addendi - nel caso dell’addizione - o dei fattori - nel caso della moltiplicazione - il risultato non cambia.

Come è possibile? La matematica è spesso astratta e tanto complessa, ma a volte basta pensare a operazioni semplici come l’addizione e la moltiplicazioni, che ci troviamo a fare ogni giorno, per capirne il senso.

La proprietà commutativa dell’addizione

Vediamo ora insieme la proprietà commutativa dell’addizione che dice che se in un’addizione cambiamo l’ordine degli addendi, il risultato non cambia.
Cerchiamo di capire cosa significa questo con un esempio:

$$ 5+18+467= 490 $$

Considerata questa addizione, anche scambiando l’ordine degli addendi in qualsiasi altro modo, il risultato non cambia. Posto ciò, è vero quanto segue:

$$ 18+467+5= 490 $$

o ancora

$$ 467+5+18= 490 $$

e così via, in tutte le possibili combinazioni degli addendi.

La proprietà commutativa della moltiplicazione

Così come la proprietà commutativa dell’addizione, la proprietà commutativa della moltiplicazione afferma che se in un prodotto si cambia l’ordine dei fattori, il risultato non cambia.
Anche in questo caso passiamo subito a un esempio per capire bene cosa significa:

$$ 2\times 3=6 $$

Posto ciò, è vero anche che:

$$ 3\times 2=6 $$


Scambiando la posizione dei fattori, il risultato non cambia. E questo è vero anche il moltiplicazioni che hanno più di due fattori.

$$ 3\times 2\times 6= 36 $$

Ma anche:

$$ 2\times 6\times 3= 36 $$

e così via, sfruttando tutte le possibili combinazioni dei vari fattori.

A cosa serve la proprietà commutativa?

La proprietà commutativa è molto utile nella vita di tutti i giorni e la utilizziamo più spesso di quanto crediamo e senza nemmeno rendercene conto. Quando? Andando a fare la spesa, per esempio, o in generale facendo acquisti. Torna molto utile per semplificare e rendere più fattibili a mente dei calcoli complessi.

La proprietà commutativa in sottrazione e divisione

Delle quattro operazioni fondamentali né la sottrazione né la divisione godono della proprietà commutativa, come già accennato. Per capire meglio il perché vediamo un paio di esempi.

$$ 12-4= 8 $$

Ma nel caso in cui si scambiassero i due elementi, il risultato non sarebbe lo stesso, essendo:

$$ 4-12= -8 $$

Questo principio vale così anche per la divisione, dal momento in cui:

$$ 4:2= 2 $$

Ma 2 diviso 4 non fa 2, bensì 0,5.