La sezione aurea è una delle costanti matematiche più antiche che esistano. È stata definita sezione aurea, o rapporto aureo, proprio perché in architettura sembra essere il rapporto più estetico fra i lati di un rettangolo e si indica con \(phi\). Questa sezione denota il numero irrazionale \(1,6180339887…\) che si ottiene dividendo un segmento in modo tale che il rapporto tra la sua porzione più piccola e quella più grande sia lo stesso di quella più grande con il segmento totale. Tale rapporto lo chiameremo sezione aurea.
Andremo a vedere, quindi, come si ottiene questo numero particolare partendo da un segmento \(AB\). Fatto ciò, vedremo come si costruisce il rettangolo aureo, che è un rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea.

Come si trova la sezione aurea?

Sia \(AB\) un segmento e sia \(C\) un punto interno al segmento che non sia il punto medio e tale che la lunghezza di \(AC\) sia maggiore di \(CB\).
Ricordando che il rapporto tra la parte più piccola e quella più grande è uguale al rapporto della parte più grande con l’intero segmento, abbiamo praticamente una proporzione, cioè: \(CB\) sta a \(AC\) come \(AC\) sta a \(AB\). In formule:

$$\bar{CB}:\bar{AC} =\bar{AC} :\bar{AB}$$

Usando le proprietà delle proposizioni (stiamo per scambiare i medi esterni) è come fare:

$$\bar{AB}:\bar{AC} =\bar{AC} :\bar{CB}$$

Riscriviamo questa denotando:

$$a=lunghezza\>di\>\bar{AC}$$


$$b=lunghezza\>di\>\bar{CB}$$


$$a+b=lunghezza\>di\>\bar{AB}$$

$$(a+b):a=a:b=\phi\>oppure\>\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi $$

Ora riscrivendo l’ultima relazione abbiamo che:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}=1+\frac{1}{\frac{a}{b}}$$

Da notare che abbiamo usato solo normali operazioni su un espressione algebrica! Ora abbiamo che \(phi=\fracab\) e sostituendo all’uguaglianza:

$$\frac{a}{b}=1+\frac{1}{\frac{a}{b}}$$

Abbiamo:

$$\phi=1+\frac{1}{\phi}$$

Otteniamo quindi l’equazione di secondo grado:

$$\phi^2-\phi-1=0$$

Risolvendola:

$$\phi=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$


Però, dato che \(phi\) è una quantità positiva perché \(a\) e \(b\) sono lunghezze e, quindi, quantità positive a loro volta, l’unica soluzione ammissibile dell’equazione è quella positiva:

$$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,6180339887…$$


Che è il numero cercato.

Costruzione sezione aurea con riga e compasso (rettangolo aureo)

Il procedimento di costruzione del rettangolo aureo con il solo ausilio di riga e compasso è un procedimento abbastanza antico che risale ai tempi dell’antica Grecia: infatti fu Euclide a presentarne la costruzione.
Avendo il nostro segmento\(AB\), il processo include pochi step:

  • Prima di tutto costruiamo il quadrato che ha per lato il segmento \(AB\) e poi prolunghiamo il segmento o da \(A\) o da \(B\) (le scelte sono equivalenti, noi lo prolungheremo da \(B\));
  • Poi troviamo il punto medio del segmento \(M\), puntiamo il compasso in \(M\) con apertura fino a uno dei vertici del quadrato non adiacenti a \(M\) (nel nostro caso fino a \(H\)) e disegnamo l’arco di circonferenza che interseca il prolungamento del segmento;
  • Ora abbiamo un rettangolo di base \(AC\) e altezza uguale alla lunghezza di \(AB\);

    Questo rettangolo è chiamato rettangolo aureo.
    Perché è importante? Perché le lunghezze, rispettivamente, di \(AC\) e di \(AB\) sono in rapporto aureo, cioè verificano le proporzioni che abbiamo visto in precedenza.