A differenza della prima, la seconda legge di Gay-Lussac descrive il comportamento dei gas ideali soggetti a trasformazioni isocore, cioè descrive la variazione della temperatura e della pressione quando si mantiene il volume costante nel tempo.
Come fatto per la prima legge di Gay-Lussac, facciamo un esempio per chiarire cosa succede per questo caso…
- Prendiamo un contenitore coperto da un pistone e contente un gas ideale;
- Scaldiamo il contenitore e mettiamo dei pesetti sul pistone in modo tale da mantenere il volume occupato dal gas costante;
- All’aumentare della temperatura, notiamo che la pressione del gas, all’interno del contenitore, aumenta;
Da questa esperienza possiamo dedurre che, mantenendo il volume costante, la pressione varia in modo lineare al variare della temperatura. Abbiamo, perciò, la seguente espressione
$$p=p_0 (1+\alpha t)$$
dove \(p_0\) è la pressione iniziale alla temperatura di 0 gradi Celsius, \(t\) è la variazione di temperatura espressa in gradi Celsius e \(\alpha\) è il coefficiente di dilatazione termica, uguale per tutti i gas.
La relazione è lineare, infatti, considerando la pressione come una variabile che varia al variare della temperatura, possiamo riscrivere la formula vista sopra così
$$p(t)=p_0 (1+\alpha t)=p_0+p_0 \alpha t$$
Questa graficamente rappresenta una retta sul piano cartesiano avente per ascisse la variabile \(t\) e per ordinate la variabile \(p(t)\). Quindi è del tipo
$$y=mx+q$$
Dove
$$y= p(t)=p;\quad m=p_0 \alpha;\quad x=t;\quad q=p_0;$$
Seconda legge di Gay-Lussac e temperatura assoluta
Come osservato nell’articolo della prima legge di Gay-Lussac, il coefficiente di dilatazione termica è uguale per tutti i tipi di gas:
$$\alpha =\frac{1}{273 °C}$$
Ricordiamoci, anche, la formula
$$t=\biggl(\frac{T}{K}-273 \biggl)°C$$
dove con \(T\) indichiamo la temperatura in gradi Kelvin.
Questa ci aiuta a convertire l’espressione della seconda legge di Gay-Lussac da gradi Celsius a gradi Kelvin. Svolgendo un po’ di calcoli abbiamo, infatti,
$$1+\alpha t=\frac{T}{T_0}$$
Quindi la scrittura della legge per la temperatura assoluta
$$ p=\frac{p_0}{T_0}T$$
Tutto il discorso appena fatto si può riassumere nella seguente affermazione:
A volume costante, la pressione di un gas è direttamente proporzionale alla sua temperatura assoluta.
Esempio
Un gas ideale subisce una trasformazione isocora. Sapendo che la pressione alla temperatura di 0°C è di 2 atm, calcolare la pressione quando portiamo il gas a una temperatura di 63°C.
Svolgimento:
Siccome la temperatura iniziale è posta a 0°C, la variazione di temperatura \(t\) è uguale a 63°C poiché
$$t=\{temperatura\>finale\}-\{temperatura\>iniziale\}=63°C-0°C=63°C $$
Ora possiamo applicare la seconda legge di Gay-Lussac per calcolare la pressione richiesta dal problema, poiché il gas subisce una trasformazione isocora.
$$p=p_0 (1+\alpha t)=2atm\cdot \biggl(1+\frac{1}{273°C}\cdot 63°C\biggl)=$$
$$=2atm\cdot (1+0.23)=2.46atm$$
Abbiamo trovato che la pressione finale è di 2.46atm.
Possiamo notare che la pressione è aumentata di 0.46atm, perciò per avere cambiamenti più significativi di pressione dobbiamo avere una variazione di temperatura molto più elevata, sempre considerando il caso delle trasformazioni isobare.