La superficie della sfera, oppure l’area della sfera, è l’insieme dei punti equidistanti da un punto fissato detto centro della sfera. Detto in linguaggio matematico sarebbe l’insieme dei punti \(P\) tali che \(d(O,P)=r\) dove \(O\) denota il centro della sfera, \(d( O,P ) \) indica la distanza tra i due punti e \(r\) una distanza fissata, detta raggio della sfera.
Per calcolare la superficie della sfera bisogna conoscere il suo raggio, quindi, dando per noto il raggio \(r\) , la formula per calcolare la superficie è
$$S=4\pi r^2$$
Esempio
Sia \(r=4 cm\) il raggio di una sfera. Quanto vale la superficie della sfera?
Svolgimento:
Basta applicare semplicemente la formula enunciata prima
$$S=4\pi r^2=4\cdot 3.14\cdot (4\>cm)^2=4\cdot 3.14 \cdot 16\>cm^2= 200.96\>cm^2$$
Ricorsivamente si può ricavare il raggio di una sfera conoscendo la sua superficie. Infatti, sia la superficie \(S\) nota, il raggio della sfera è
$$r^2=\frac{S}{4\pi}$$
e svolgendo il quadrato abbiamo
$$r=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$
Da notare che abbiamo preso solo la soluzione positiva del quadrato, poiché non avrebbe senso avere un raggio negativo! Infatti, essendo una distanza fissata come detto in precedenza, deve essere una quantità positiva.
Andiamo ad analizzare la superficie della sfera nel caso in cui il dato noto del problema non è il raggio:
Calcolo della superficie della sfera conoscendo il suo Volume
Conoscendo il volume della sfera \(V\) possiamo ricavare facilmente la superfice della sfera, infatti sapendo che il volume di una sfera è uguale a
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
Possiamo ricavare facilmente il raggio della sfera
$$r=\sqrt[3]{ \frac{3}{4} \frac{V}{\pi}}$$
E da qui si ha che la superficie della sfera è uguale a
$$S=4\pi \sqrt[3]{ \frac{9}{16} \frac{V^2}{\pi ^2}}$$
Esempio
Calcolare la superficie di una sfera, sapendo che il volume è uguale a \(V=36 cm^3\).
Svolgimento:
Sappiamo che il raggio è uguale a
$$r=\sqrt[3]{ \frac{3}{4} \frac{36cm^3}{\pi}}=2.05cm$$
e da qui il risultato
$$S=4\pi (2.05) ^2=52.81cm^2$$
Calcolo della superficie conoscendo il perimetro di un semicerchio generatore
Sappiamo che la sfera si può costruire dalla rotazione di una semicirconferenza intorno al suo diametro. Perciò avendo informazioni sul perimetro di quest’ultima è facile ricavare la misura del raggio della sfera, poiché esso coincide con il raggio della semicirconferenza. Chiamando \(C\) il perimetro avremo
$$C=\frac{2\pi r}{2}+2r=r(\pi +2)$$
Il perimetro è uguale alla metà del perimetro di tutta la circonferenza più il diametro. Da ciò il raggio sarà uguale a
$$r=\frac{C}{\pi + 2}$$
E di conseguenza la superficie è uguale a
$$S=4\pi \frac{C^2}{(\pi + 2)^2}$$
Esempio
Il perimetro di una semicirconferenza generatrice di una sfera è uguale a \(C=47cm\), trovare la superficie della sfera.
Svolgimento:
Come scritto sopra il raggio della sfera è uguale a
$$r=\frac{47cm}{\pi + 2}=9.14cm$$
E la superficie di conseguenza
$$ S=4\pi (9.14cm) ^2=1049.79cm^2$$
Calcolo della superficie conoscendo l’area di un semicerchio generatore
Allo stesso modo, è possibile ricavare una formula della superficie della sfera conoscendo l’area \(A\) della semicirconferenza. Qui abbiamo
$$A= \frac{\pi r^2}{2}$$
Quindi il raggio è uguale a
$$r=\sqrt{\frac{2A}{\pi}}$$
E la superficie a
$$S=4\pi \frac{2A}{\pi}=8A$$
Esempio
L’area di una semicirconferenza generatrice di una sfera è uguale a \(A=33cm^2\), trovare la superficie della sfera.
Svolgimento:
Come visto
$$r=\sqrt{\frac{2\cdot 33cm^2}{\pi}}=4.58cm$$
Quindi la superficie
$$ S=4\pi (4.58cm) ^2=263.6cm^2$$
Osserviamo che il risultato non viene uguale se applichiamo la formula
$$S=8A$$
Questo perché abbiamo approssimato al secondo numero dopo la virgola... per avere un risultato come nella formula diretta bisogna lasciare parecchi numeri dopo la virgola e avremo
$$ S=263.999999cm^2=264cm^2$$
come se applicassimo la formula diretta.