Un problema frequente della geometria è se due figure sono congruenti fra loro o meno, in particolar modo questa questione può essere posta anche per i triangoli. In quest’articolo discutiamo quando due triangoli si dicono congruenti ed enunciamo dei criteri di congruenza per i triangoli. Cominciamo a dare una definizione di congruenza tra due triangoli:

Due triangoli si dicono congruenti tra loro se è possibile sovrapporli con un movimento rigido in modo tale che coincidano punto per punto

Per movimento rigido intendiamo una isometria del piano, per esempio una traslazione oppure una rotazione oppure una loro combinazione. Per verificare la congruenza di due triangoli possiamo verificare se i loro lati e i loro angoli sono congruenti tra loro, ma molte volte non abbiamo tutti i dati, riguardanti i triangoli, e non possiamo fare questa verifica.
Per questo vengono introdotti i criteri di congruenza tra due triangoli con i quali è possibile capire se due triangoli sono congruenti avendo poche informazioni. Andiamo ad enunciarli.

Primo criterio di congruenza dei triangoli

Il primo criterio di congruenza dice:

Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti

Siano \(ABC\) e \(A’B’C’\) due triangoli qualunque, allora essi sono congruenti, per il primo criterio, se

$$\overline{AB}=\overline{A’B’}$$


$$\overline{BC}=\overline{B’C’}$$


$$A\hat{B}C=A’\hat{B’}C’$$

Secondo criterio di congruenza dei triangoli

Il secondo criterio dice:

Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente due angoli e il lato tra essi compreso congruenti

Siano \(ABC\) e \(A’B’C’\) due triangoli qualunque, allora essi sono congruenti, per il secondo criterio, se

$$A\hat{B}C=A’\hat{B’}C’$$


$$C\hat{A}B=C’\hat{A’}B’$$


$$\overline{AB}=\overline{A’B’}$$

Terzo criterio di congruenza dei triangoli

Il terzo criterio dice:

Due triangoli sono congruenti se hanno i lati ordinatamente congruenti tra loro

Siano \(ABC\) e \(A’B’C’\) due triangoli qualunque, allora essi sono congruenti, per il terzo criterio, se

$$\overline{AB}=\overline{A’B’}$$


$$\overline{BC}=\overline{B’C’}$$


$$\overline{CA}=\overline{C’A’}$$

Come possiamo notare nel primo e nel secondo criterio di congruenza richiediamo espressamente che l’angolo congruente deve essere compreso tra due lati congruenti e il lato congruente deve essere compreso tra due angoli congruenti.
Ma che cosa succede se prendiamo un angolo qualunque?
Se due triangoli hanno due lati rispettivamente congruenti e un angolo qualunque rispettivamente congruente in generale NON è vero che due triangoli sono congruenti. I triangoli, invece, sono congruenti se l’angolo preso in considerazione nei due triangoli è rispettivamente l’angolo compreso tra i due lati congruenti (come già visto nel primo criterio di congruenza) oppure se l’angolo è generico ma NON è un angolo acuto.
Che cosa succede se prendiamo un lato qualunque?
Qui la risposta è che i due triangoli sono comunque congruenti tra loro. Infatti esiste una generalizzazione del secondo criterio di congruenza che dice:

Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente due angoli e un lato congruenti

da molti questo viene chiamato quarto criterio di congruenza dei triangoli.

Conseguenze per i triangoli rettangoli

Questi criteri hanno dirette conseguenze sui triangoli rettangoli, infatti abbiamo

  • Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente i cateti congruenti.
  • Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un angolo acuto e un lato (un cateto o l’ipotenusa) rispettivamente congruenti.
  • Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente un cateto e l’ipotenusa congruenti.