Nell’articolo di oggi andiamo a studiare i poligoni inscritti in una circonferenza e i poligoni circoscritti a una circonferenza con tutte le relative proprietà e le relative formule che questo tipo di poligoni ci danno. Prima di cominciare a dare le definizioni, facciamo un’osservazione: non tutti i poligoni sono inscritti in una circonferenza o circoscritti a una circonferenza, infatti devono rispettare alcuni criteri altrimenti non si possono né inscrivere né circoscrivere!

Poligoni inscritti in una circonferenza

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici stanno su un’unica circonferenza

In questo caso diremo che la circonferenza è circoscritta al poligono.
Come abbiamo evidenziato nell’introduzione, non tutti i poligoni possono essere inscritti e quindi, detto in modo più formale, non è detto che esista una circonferenza passante per tutti i vertici del poligono. Però esiste un criterio, detto appunto criterio di inscrivibilità, che mi consente di dire quando un poligono si può inscrivere in una circonferenza o meno:

Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se e solo se i suoi assi, cioè le rette ortogonali ai lati del poligono e passanti per i punti medi dei lati, si intersecano in un unico punto, che sarà proprio il centro della circonferenza in cui esso è inscritto

Diamo di seguito alcune proprietà di un poligono inscritto:

  • I lati del poligono sono le corde della circonferenza, in particolare se un lato del poligono è uguale a un diametro della circonferenza allora questo poligono è inscritto nella semicirconferenza con diametro il lato del poligono.
  • Un triangolo può essere inscritto sempre in una circonferenza poiché le sue assi si intersecano sempre in unico punto, detto circocentro del triangolo.
  • Un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se e solo le somme delle ampiezze degli angoli opposti del quadrilatero fanno 180 gradi, cioè gli angoli opposti sono supplementari. Sia, infatti, \(ABCD\) un quadrilatero qualunque allora questo è inscrivibile in una circonferenza se

    $$\hat{A}+\hat{C}=\hat{B}+\hat{D}=180$$

  • Ogni poligono regolare può essere inscritto in una circonferenza.

Poligoni circoscritti a una circonferenza

Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza se i ogni suo lato è tangente a un’unica circonferenza

In questo caso diremo che la circonferenza è inscritta nel poligono.
Come prima, non è detto che esiste una circonferenza tangente a ogni lato del poligono. Perciò ci affidiamo al seguente criterio, detto criterio di circoscrivibilità, che mi consente di dire quando un poligono si può circoscrivere a una circonferenza:

Un poligono si può circoscrivere a una circonferenza se e solo se le sue bisettrici, cioè le rette che passano per i vertici del poligono e dividono l’angolo relativo al vertice in due parti uguali, si intersecano in un unico punto, che sarà il centro della circonferenza a cui esso è circoscritto

Diamo di seguito alcune proprietà di un poligono circoscritto:

  • Il raggio della circonferenza è dato dal segmento che collega il centro di questa con uno dei punti d’intersezione del poligono con la circonferenza.
  • Un triangolo si può sempre circoscrivere a una circonferenza poiché le sue bisettrici si intersecano sempre in un unico punto, detto incentro del triangolo.
  • Un quadrilatero può essere circoscritto a una circonferenza se e solo se la somma delle misure di due lati opposti è uguale alla somma delle misure degli altri. Sia, infatti, \(ABCD\) un quadrilatero qualunque allora questo è circoscrivibile a una circonferenza se

    $$\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{BC}+\overline{DA}$$

  • Ogni poligono regolare può essere circoscritto a una circonferenza e il raggio di questa circonferenza si dice apotema del poligono regolare.

L’ultima proprietà ci da una formula notevole per poligoni regolari circoscritti. L’apotema di un poligono regolare, quindi il raggio della circonferenza, si ottiene moltiplicando il lato del poligono regolare per il relativo numero fisso (questo cambia a seconda del poligono!). Perciò chiamando \(r\) l’apotema, \(l\) il lato del poligono e \(p\) il relativo numero fisso avremo:

$$r=l\cdot p$$


E analogamente

$$l=\frac{r}{p}$$