Il triangolo è un poligono molto particolare, poiché può essere sempre inscritto in una circonferenza e circoscritto a una circonferenza. Ricordiamo brevemente quando un poligono, in generale, si dice inscritto e circoscritto, dando inoltre le condizioni per cui esso si può inscrivere in una circonferenza e circoscrivere ad una circonferenza.
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici stanno sulla circonferenza. In questo caso la circonferenza si dice circoscritta al poligono. Inoltre un poligono si può iscrivere in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano tutti in un unico punto che sarà il centro della nostra circonferenza. Notiamo che nel triangolo gli assi si intersecano sempre in un unico punto e questo punto viene chiamato circocentro del triangolo, perciò si può sempre inscrivere in una circonferenza.
Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza se i suoi lati sono tangenti alla circonferenza, cioè ogni lato ha intersezione non banale con essa. In questo caso la circonferenza si dice inscritta nel poligono. Infine un poligono si può circoscrivere a una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto, che sarà, ancora, il centro della circonferenza. In un triangolo le bisettrici si intersecano sempre in un unico punto, detto incentro del triangolo, e perciò si può circoscrivere sempre a una circonferenza.
Consideriamo adesso i seguenti problemi in cui dobbiamo trovare il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo o inscritta a esso.
Problema 1
Sia \(ABC\) un triangolo qualsiasi di altezza \(\overline{CH}\) inscritto in una circonferenza di un certo raggio \(r\) incognito, come possiamo trovare questo raggio?
Consideriamo, prima di tutto, la retta passante per il punto \(C\) e per il centro della nostra circonferenza. Questa interseca la circonferenza in un altro punto \(D\) e il segmento \(\overline{CD}\) è un diametro della circonferenza, perciò abbiamo
$$\overline{CD}=2r$$
Ora consideriamo il segmento che collega \(D\) con il vertice del triangolo a lui più vicino, supponiamo questo vertice sia \(A\). Abbiamo che il triangolo \(DAC\) è rettangolo, con angolo retto in \(A\), base \(\overline{AD}\), altezza \(\overline{AC}\) e ipotenusa \(\overline{CD}\).
Mettiamo in relazione i lati del triangolo rettangolo \(DAC\) con quelli del triangolo rettangolo \(BHC\), con angolo retto in \(H\), base \(\overline{HB}\), altezza \(\overline{HC}\) e ipotenusa \(\overline{CB}\). Facciamo la proporzione
$$altezza\>1:ipotenusa\>1=altezza\>2:ipotenusa\>2$$
Con i numeri 1 e 2 indico i triangoli presi in considerazione prima. Tradotta in formule
$$\overline{AC}:\overline{CD}=\overline{HC}:\overline{CB}$$
L’unico termine incognito della proporzione è il diametro \(\overline{CD}\), perciò lo ricaviamo usando le proprietà delle proporzioni
$$\overline{CD}=\frac{\overline{AC}\cdot \overline{CB}}{\overline{HC}}$$
Cioè
$$2r=\frac{\overline{AC}\cdot \overline{CB}}{\overline{HC}}$$
$$r=\frac{\overline{AC}\cdot \overline{CB}}{2\overline{HC}}$$
Problema 2
Sia \(ABC\) un triangolo isoscele di altezza \(\overline{CH}\) e base \(\overline{AB}\) inscritto in una circonferenza di un certo raggio \(r\) incognito, come possiamo trovare questo raggio?
Notiamo che il circocentro di un triangolo isoscele si trova sull’altezza \(\overline{CH}\), quindi il centro \(O\) della circonferenza in cui è inscritto sta nel segmento \(\overline{CH}\). Il raggio \(r\) allora è rappresentato dal segmento \(\overline{OC}\) e per trovarlo, come prima, voglio sfruttare le proprietà delle proporzioni.
Tracciando l’asse relativa al lato \(\overline{AC}\) ( si può fare lo stesso discorso per \(\overline{CB}\) ) e indicando con \(D\) il punto d’intersezione dell’asse con il segmento \(\overline{AC}\), avremo che il triangolo \(OCD\) è rettangolo con angolo retto in \(D\). Mettiamo in relazione questo triangolo con il triangolo rettangolo \(AHC\) con la proporzione
$$\overline{OC}:\overline{DC}=\overline{AC}:\overline{CH}$$
L’unico dato incognito è \(\overline{OC}\), poiché, essendo \(D\) il punto medio del lato \(\overline{AC}\), abbiamo che
$$\overline{DC}=\frac{1}{2}\overline{AC}$$
La proporzione si trasforma in
$$\overline{OC}:\frac{1}{2}\overline{AC}=\overline{AC}:\overline{CH}$$
Infine il raggio sarà uguale a
$$r=\overline{OC}=\frac{\overline{AC}\cdot \frac{1}{2}\overline{AC}}{\overline{CH}}$$
Problema 3
Consideriamo il triangolo \(ABC\) circoscritto a una circonferenza di raggio incognito \(r\), come trovare questo raggio?
Possiamo dividere il triangolo \(ABC\) in tre triangoli che hanno come vertice in comune il centro della circonferenza \(O\): avremo i triangoli \(AOB\), \(AOC\) e \(BOC\) con rispettive basi \(\overline{AB}\), \(\overline{AC}\) e \(\overline{BC}\). Questi hanno in comune tutti la stessa altezza uguale al raggio \(r\) della circonferenza inscritta nel triangolo. Abbiamo che l’area complessiva del triangolo è uguale alla somma delle aree dei tre triangoli appena presi in considerazione
$$A=\frac{1}{2}r\cdot \overline{AB}+\frac{1}{2}r\cdot \overline{AC}+\frac{1}{2}r\cdot \overline{BC}$$
Che raccogliendo a fattor comune diventa
$$A=\frac{1}{2}r( \overline{AB}+ \overline{AC}+\overline{BC})$$
La somma a secondo membro non è altro che il perimetro del triangolo \(ABC\)! Il raggio sarà uguale a
$$r=\frac{2A}{P}$$
Dove per \(P\) indico il perimetro del triangolo.