Cos’è un insieme? Iniziamo dicendo che un insieme altro non è che un raggruppamento di elementi, che possono essere numeri o elementi di altro genere. Un insieme è un raggruppamento di elementi che condividono una caratteristica e che per tale ragione possono essere raggruppati nell’insieme.

Nella vita di tutti i giorni ci capita spesso di dividere gli oggetti in insiemi e raggruppamenti, ma in matematica le regole per la creazione di un insieme sono ben chiare. Per creare un insieme in matematica è necessario che i numeri che vengono raggruppati abbiano in comune un elemento caratterizzante univoco e ben distinguibile, che permetterà di incasellare ogni elemento in una sola modalità.
Facciamo subito un esempio per comprendere meglio la questione: l’insieme dei libri da leggere almeno una volta nella vita non è un tipo di insieme matematico, dal momento che i testi che verranno inseriti in questo raggruppamento varieranno in base al parametro di giudizio, all’istruzione, ai gusti e altre caratteristiche della persona. Diversamente invece se volessimo creare un insieme che contenga tutti i numeri pari avremmo un raggruppamento uguale per tutti e univoco, quindi matematico.

Gli insiemi: definizione di infinito e finito

Esistono due differenti tipologie di insieme, quello finito e quello infinito, che definiscono la loro natura proprio a partire dalla loro nomenclatura.

  • Si definisce insieme finito un raggruppamento nel quale posso inserire tutti gli elementi, come ad esempio l’insieme dei mesi dell’anno o dei giorni della settimana;
  • Si definisce insieme infinito il raggruppamento nel quale invece non riuscirò mai ad inserire ogni elemento, essendo l’elemento stesso infinito. Ad esempio l’insieme dei numeri pari non potrà mai essere completo, essendo i numeri pari infiniti, lo stesso vale per i numeri dispari, i numeri reali, i numeri razionali e così via.

Nella simbologia matematica l’insieme si indica con la lettera maiuscola A, B, C, D, E, F mentre gli elementi che lo compongono con le lettere minuscole. Per indicare che un determinato elemento fa parte dello schema A utilizziamo il simbolo ∈ che si leggere "appartiene a". Quindi una dicitura del tipo:

$$a∈A$$

si leggerà a (inteso come elemento dell’insieme) appartiene all’insieme A (inteso come insieme in toto).
Invece se volessi indicare che un elemento non fa parte del mio insieme dovrò usare il simbolo ∉ che si legge "non appartiene". Una dicitura simile:

$$a∉A$$

si dovrà leggere nel seguente modo "a non appartiene all’insieme A".