Ricordiamo che un punto, in generale, si dice di discontinuità se la funzione non è continua nel punto in questione. Detto in linguaggio matematico, se consideriamo una funzione reale \(f\) definita cosi

$$f\colon [a,b]\to \mathbb{R}$$


e un punto \(x_0\) appartenente al dominio [a,b] della funzione, questo si dice di discontinuità se non avviene

$$lim_{x\to x_0^+} f(x)= lim_{x\to x_0^-} f(x)= f(x_0)$$


C’è una classificazione sui tipi di discontinuità di una funzione reale a valori reali: noi andremo ad analizzare le discontinuità di terza specie o discontinuità eliminabili, fissando il concetto con degli esempi.

Definizione: Siano \(f\) una funzione definita come in precedenza e \(x_0\) un punto di discontinuità. Il punto \(x_0\) è una discontinuità di terza specie se i limiti da destra e sinistra nel punto della funzione esistono, sono finiti e coincidenti, ma, se valuto la funzione nel punto, abbiamo che \(f(x_0)\) è diverso dal risultato dei limiti o non è definito, cioè

$$lim_{x\to x_0^+} f(x)= lim_{x\to x_0^-} f(x)= L$$


Ma

$$f(x_0)\neq L$$


Una caratteristica dei punti di discontinuità di terza specie è che posso eliminare le discontinuità nel punto ridefinendo la funzione in modo tale da renderla continua, per questo viene detta anche discontinuità eliminabile. Posso, quindi, definire una funzione \(g\), dalla funzione \(f\) con il punto di discontinuità, tale che

$$g(x)= \begin{cases} f(x)\quad se\>x\neq x_0\\ L\quad se\>x=x_0 \end{cases}$$


In questo modo \(g\) è una funzione continua da \([a,b]\) in \(R\) ed è un’estensione continua di \(f\) in \([a,b]\).
Vediamo adesso alcuni esempi…

Esempio 1

$$f(x)=\frac{sin(x)}{x}$$


È una funzione discontinua su \(R\). Il suo dominio è

$$D=\{x\neq 0\}$$


Studiamo la funzione allora nel punto \(0\)… abbiamo che

$$f(0)= \frac{sin(0)}{0}=\frac{0}{0}$$


Non è definita quindi la funzione in \(0\) poiché è presente una forma indeterminata, mentre i limiti

$$lim_{x\to 0^+} \frac{sin(x)}{x}= lim_{x\to 0^-} \frac{sin(x)}{x}= 1$$


Siamo di fronte a una discontinuità di terza specie, vogliamo estendere il dominio della funzione su tutto \(R\). Consideriamo, a tale scopo, la funzione

$$g(x)= \begin{cases} \frac{sin(x)}{x}\quad se\>x\neq 0\\ 1\quad se\>x=0 \end{cases}$$


Questa si incolla bene nel punto \(0\), cioè è una funzione continua su tutto \(R\) ed è per questo un’estensione di \(f\) su \(R\).

Esempio 2

$$f(x)=\frac{x^3-1}{x-1}$$


È una funzione discontinua su \(R\). Il suo dominio è

$$D=\{x\neq 1\}$$


Vediamo quanto vale la funzione nel punto \(1\)

$$f(1)=\frac{1^3-1}{1-1}=\frac{0}{0}$$


E come prima la funzione presenta un’indeterminazione nel punto \(1\), del tipo \(\frac{0}{0}\). Vediamo quanto valgono i limiti da destra e sinistra della funzione in \(1\)

$$lim_{x\to 1^+} \frac{x^3-1}{x-1}= lim_{x\to 1^+} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}= lim_{x\to 1^+} x^2+x+1=3$$


e coincide col limite da sinistra

$$lim_{x\to 1^-} \frac{x^3-1}{x-1}=3$$


Siamo, come prima, nel caso di una discontinuità di terza specie. Possiamo ridefinire la funzione come prima

$$g(x)= \begin{cases} \frac{x^3-1}{x-1}\quad se\>x\neq 1\\ 3\quad se\>x=1 \end{cases}$$


La funzione, ridefinita così, è continua su tutto \(R\) ed è di conseguenza un’estensione continua di \(f\) su \(R\).