Per svolgere agevolmente gli esercizi con gli insiemi della lista che vi andiamo a proporre, bisogna sapere:

  • che cos’è un insieme e come si rappresenta correttamente avendo delle informazioni iniziali date dal problema;
  • conoscere le operazioni tra insiemi, cioè l’intersezione e l’unione tra due o più insiemi e la differenza tra due insiemi;
  • le definizioni di sottoinsieme, cardinalità e insieme delle parti;

Dopo aver visto questi argomenti potrete mettervi alla prova con gli esercizi con gli insiemi e vedere se avete compreso tutti i passaggi da svolgere correttamente.

Esercizio 1

Sia \(A\) l’insieme dei numeri naturali pari e minori di 15, \(B\) l’insieme dei numeri naturali multipli di 3 e minori di 20 e \(C\) l’insieme dei numeri divisori di 30. Calcolare:

  • \(A\cap B\), \(A\cap C\), \(B\cap C\) e \(A\cap B\cap C\);
  • \(A\cup B\), \(A\cup C\), \(B\cup C\) e \(A\cup B\cup C\);
  • \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), \(B\cap C\) e \(B\setminus C\);

Svolgimento:

Rappresentiamo esplicitamente gli insiemi \(A\), \(B\) e \(C\) per poi fare tutte le operazioni richieste.

$$A=\{2,4,6,8,10,12,14\}$$


$$B=\{3,6,9,12,15,18\}$$


$$C=\{2,3,5,6,10,15,30\}$$

  • L’intersezione tra due o più insiemi è composta dagli elementi in comune tra gli insiemi, quindi per risolvere il primo punto bisogna, appunto, vedere ciò:

    $$A\cap B=\{6,12\}$$


    $$A\cap C=\{2,6,10\}$$


    $$B\cap C=\{3,6,15\}$$


    $$A\cap B\cap C=\{6\}$$

  • L’unione tra due o più insiemi è composta dalla totalità degli elementi degli insiemi, abbiamo, infatti, che:

    $$ A\cup B =\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,18\}$$


    $$ A\cup C =\{2,3,4,5,6,8,10,12,14,15,30\}$$


    $$ B\cup C =\{2,3,5,6,9,10,12,15,18,30\}$$


    $$ A\cup B \cup C =\{2,3,4,5,6,8,9,10,12,14,15,18,30\}$$

  • La differenza tra due insiemi è composta da tutti gli elementi del primo insieme escluso gli elementi del secondo, in altre parole se nel secondo insieme ci sono elementi in comune con il primo allora questi non fanno parte della differenza. Questa volta abbiamo che:

    $$A\setminus B=\{2,4,8,10,14\}$$


    $$B\setminus A=\{3,9,15,18\}$$


    $$B\setminus C=\{9,12,18\}$$


    $$C\setminus B=\{2,5,10,30\}$$

Esercizio 2

Sia \(A\) l’insieme dell’esercizio precedente. Consideriamo gli insiemi:

$$A_1=\{2,6,10\}$$


$$A_2=\{2,4,5\}$$

  • Calcolare le cardinalità di \(A\), \(A_1\) e \(A_2\);
  • Dire le cardinalità degli insiemi delle parti delle parti di \(A\), \(A_1\) e \(A_2\);
  • Scrivere esplicitamente gli insiemi delle parti di \(A_1\) e \(A_2\);

Svolgimento:

Ricordiamo che l’insieme \(A\) è uguale a

$$A=\{2,4,6,8,10,12,14\}$$

  • Poiché gli insiemi sono finiti, la cardinalità di ognuno di essi è finita. Basta semplicemente contare gli elementi dentro le parentesi graffe di ogni insieme ed avremo che l’insieme \(A\) ha cardinalità 7 e gli insiemi \(A_1\) e \(A_2\) hanno cardinalità 3;
  • Conoscendo la cardinalità di un insieme, sappiamo che quella del suo insieme delle parti è uguale a \(2^{n}\) con \(n\) la cardinalità dell’insieme. Di conseguenza avremo che la cardinalità dell’insieme delle parti di \(A\) è uguale a \(2^7\) e quelle di \(A_1\) e \(A_2\) sono uguali a \(2^3\);
  • Ricodiamo che l’insieme delle parti è composto da tutti i possibili sottoinsieme di un insieme e viene indicato con la lettera \(P(.)\). Abbiamo che

    $$P(A_1)=\{ \{\emptyset\},\{2\},\{6\},\{10\},\{2,6\},\{2,10\},\{6,10\},\{2,6,10\}\}$$


    $$P(A_2) =\{ \{\emptyset\},\{2\},\{4\},\{5\},\{2,4\},\{2,5\},\{4,5\},\{2,4,5\}\}$$

Esercizio 3

In una scuola di musica ci sono 12 persone che suonano il pianoforte, 8 persone che suonano il clarinetto e 6 persone che suonano il flauto traverso. Non sappiamo, però, determinare direttamente il numero di studenti della scuola di musica poiché 5 persone suonano sia il piano che il clarinetto, 3 sia il piano che il flauto, 2 sia il clarinetto che il flauto e 1 tutti e tre gli strumenti. Quanti sono gli studenti totali della scuola di musica?

Svolgimento:

Modellizziamo correttamente il problema con gli insiemi. Siano:

$$A=\{persone\> che\> suonano\> il\> piano\}$$


$$B=\{persone\> che\> suonano\> il\> clarinetto\}$$


$$C=\{persone\> che\> suonano\> il\> flauto\}$$


Prima di tutto abbiamo che una sola persona suona tutti gli strumenti, in altre parole abbiamo che la cardinalità di \(A\cap B\cap C\) è 1.
Avendo ciò possiamo dire che:

  • Il numero di persone che suonano esclusivamente il flauto e il clarinetto è 1, poiché una delle due persone suona tutti gli strumenti;
  • Il numero di persone che suonano esclusivamente il flauto e il piano è 2, poiché, come prima, una persona suona tutti gli strumenti;
  • Il numero di persone che suona esclusivamente il piano e il clarinetto è 4;

Procediamo come abbiamo appena fatto per chi suona un solo strumento:

  • Il numero di persone che suonano esclusivamente il piano è 5, poiché bisogna togliere al numero complessivo la persona che suona tutti gli strumenti e quelle che, oltre al piano, suonano un altro strumento;
  • Il numero di persone che suonano esclusivamente il clarinetto è 2, per un ragionamento analogo al precedente;
  • Il numero di persone che suonano esclusivamente il flauto è 2;

In totale, sommando tutte le cardinalità appena trovate, ci sono 17 persone nella scuola di musica. Non abbiamo fatto altro che trovare la cardinalità degli insiemi disgiunti e sommarle.
Disegniamo gli insiemi per chiarire il concetto appena scritto!