Nei precedenti articoli abbiamo visto che cosa sono i problemi del tre semplice diretto, del tre semplice inverso e del tre composto. Ricordiamo brevemente che questi tipi di problemi si risolvono con le proporzioni, infatti, secondo i casi, è richiesto di trovare un’incognita conoscendo la sua relazione di proporzionalità con una o più grandezze.
Di seguito proponiamo una lista di esercizi svolti col tre semplice e col tre composto.
Esercizio 1
Un commerciante guadagna 70 euro per la vendita di 20 articoli. Quanto ne guadagna se ne vende 50?
Svolgimento:
Facciamo una tabella per avere un quadro generale del problema.
| Guadagno | Articoli |
| 70 euro | 20 |
| x(incognita) | 50 |
Notiamo che, all’aumentare degli articoli venduti, il guadagno del commerciante sarà più grande, perciò le due grandezze sono direttamente proporzionali tra di loro. Siamo di fronte ad un problema del tre semplice diretto.
La tabella ci aiuta a impostare facilmente una proporzione, infatti, poiché c’è una proporzionalità diretta tra i dati del problema, possiamo mettere in relazione i dati sulle colonne dall’alto verso il basso per scrivere facilmente:
$$70:x=20:50$$
Usando le proprietà delle proporzioni abbiamo, infine, il guadagno richiesto dal problema:
$$x=\frac{70\cdot 50}{20}=175$$
Il commerciante guadagna 175 euro per la vendita di 50 articoli.
Notiamo che si può arrivare allo stesso risultato mettendo in relazione i dati sulle colonne dal basso verso l’alto per impostare la proporzione:
$$x:70=50:20$$
Esercizio 2
Un’automobile percorre 200 km in 6 ore, viaggiando costantemente a 20 km/h. Quanto impiegherà l’automobile a percorrere gli stessi km se viaggia costantemente a 60 km/h?
Svolgimento:
Facciamo, come nell’esercizio precedente, la tabella per avere un quadro generale del problema
| Tempo impiegato | Velocità |
| 6 h | 20 km/h |
| x(incognita) | 60 km/h |
Poiché il tempo impiegato a percorrere 200 km diminuisce con l’aumentare della velocità del veicolo, le due quantità sono inversamente proporzionali tra di loro. Siamo di fronte a un problema del tre semplice inverso.
A differenza del caso precedente, dobbiamo impostare la proporzione con un metodo differente poiché i dati sono inversamente proporzionali tra loro. Bisogna mettere in relazione i dati della prima colonna della tabella dall’alto verso il basso e i dati della seconda dal basso verso l’alto per impostare la proporzione:
$$6:x=60:20$$
Che, sempre grazie alle proprietà delle proporzioni, mi da:
$$x=\frac{6\cdot 20}{60}=2$$
L’automobile impiegherà 2 ore per percorre 200 km viaggiando costantemente a 60 km/h.
Equivalentemente, potevamo mettere in relazione i dati della prima colonna dal basso verso l’alto e i dati della seconda dall’alto verso il basso per impostare la proporzione:
$$x:6=20:60$$
Esercizio 3
In una fabbrica siderurgica, 60 operai producono in 8 ore 500 kg di acciaio. Quante ore impiegheranno 100 operai per produrre 800 kg di acciaio?
Svolgimento:
L’incognita da trovare questa volta è in relazione di proporzionalità con più dati iniziali, per questo possiamo dire senza problemi che siamo di fronte a un problema del tre composto. Lo schema è del tipo:
| Tempo impiegato | Numero operai | kg di acciaio |
| 8 h | 60 | 500 kg |
| x(incognita) | 100 | 800 kg |
Ignorando la seconda colonna della tabella, abbiamo che la prima colonna e la terza colonna sono direttamente proporzionali tra loro, poiché con l’aumentare dei kg richiesti crescerà anche il tempo impiegato per produrli. Siamo di fronte a un problema di tre semplice diretto e facendo mettendo in relazione i dati sulla prima e la terza colonna dall’alto verso il basso abbiamo la proporzione
$$8:x=500:800$$
Che da come risultato
$$x=\frac{8\cdot 800}{500}=12.8$$
Il risultato ci dice che 60 operai impiegano 12,8 h per produrre 800 kg di acciaio. La nostra tabella si riduce a
| Tempo impiegato | Numero operai |
| 12.8 h | 60 |
| x(incognita) | 100 |
Perché la relazione della prima e terza colonna l’abbiamo appena trovata!
Ora, se aumento il numero di operai, il tempo impiegato a produrre l’acciaio diminuisce e i dati sulle colonne sono inversamente proporzionali tra loro. È un problema del tre semplice inverso, perciò bisogna mettere in relazione i dati della prima colonna della tabella dall’alto verso il basso e i dati della seconda dal basso verso l’alto per impostare la proporzione:
$$12.8:x=100:60$$
Il risultato finale è:
$$x=\frac{12.8\cdot 60}{100}=7.68$$
Per produrre 800 kg di acciaio 100 operai ci impiegano 7.68 h.