In questa lezione continuiamo a parlare di proporzioni vedendo in modo dettagliato la proprietà dello scomporre.
Proprietà dello scomporre (prima forma)
Partendo da una proporzione del tipo
$$ a: b = c : d $$
La proprietà dello scomporre ci dice che allora abbiamo anche la seguente proporzione
$$ (a - b ): a = (c-d) : c $$
In altre parole la prima proprietà dello scomporre ci dice che:
La differenza dei primi due termini sta al primo termine come la differenza degli altri due sta al terzo.
Proprietà dello scomporre (seconda forma)
Partendo da una proporzione del tipo
$$ a: b = c : d $$
La seconda proprietà dello scomporre ci dice che allora abbiamo anche la seguente proporzione
$$ (a- b):b = (c -d) :d $$
La differenza dei primi due termini sta al secondo termine come la differenza degli altri due sta al quarto.
Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:
$$ 3:2 = 15 :10 $$
Per la proprietà dell’invertire vale anche la seguenti:
$$ (3-2):2 = (15-10):10 $$
$$ (3-2):3 = (15-10):15 $$
Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:
$$ 8:4 = 10 :5 $$
Per la proprietà dell’invertire vale anche la seguente:
$$ (8-4):8 = (10 -5):10 $$
$$ (8-4):4 = (10 -5):5 $$
Esempio
Supponiamo di avere 2 incognite $x$ e $y$ e supponiamo di sapere che la loro differenza $x-y= 6$ e che stanno in proporzione nel modo seguente
$$ x: y = 2 : 1 $$
E se applichiamo la seconda proprietà dello scomporre otteniamo
$$ (x-y) : y = (2-1) : 1 $$
$$ 6: y = 1:1 $$
A questo punto è facile utilizzando la proprietà fondamentale, ricavare il valore di $ y $
Infatti
$$ 1 \times y = 6 \times 1$$
da cui, dividendo per 1 entrambi i membri otteniamo y=6
A questo punto per ricavate il valore della $ x $ possiamo procedere in 2 modi
Usare il fatto che $ x-y=6 $ da cui $ x=6 +y = 6 +6 = 12 $
Usare $ x : y = 2 : 1 $ da cui, conoscendo il valore di $ y $ e usando la proprietà fondamentale, esattamente come fatto per trovare il valore di $y$, si ottiene lo stesso risultato: $ x= 12 $