È molto importante in matematica saper fare le operazioni con le funzioni trigonometriche: di seguito andiamo ad evidenziare le formule trigonometriche fondamentali, usate per fare i conti con queste funzioni…
Prima relazione fondamentale della trigonometria
Segue immediatamente dalla definizione di seno e coseno di un angolo \(\alpha\). Dato, quindi, un angolo \(\alpha\) abbiamo
$$sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1$$
da qui possiamo ricavare le formule per calcolare singolarmente il seno e il coseno:
- \(sen(\alpha)=\pm \sqrt{1-cos^2(\alpha)}\)
- \(cos(\alpha)=\pm \sqrt{1-sin^2(\alpha)}\)
Seconda relazione fondamentale della trigonometria
Ci dice, in pratica, come è definita la funzione trigonometrica \(tg(\alpha)\). Abbiamo in questo caso
$$ tg(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$$
per \(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\) numero intero.
Come prima da questa, con pochi passaggi algebrici, si ricava
- \( cos^2(\alpha)= \frac{1}{1+tg^2(\alpha)}\), con cui, facendo la radice quadrata ambo i membri e aggiungendo,quindi, un più o meno a secondo membro (RICORDA come si comportano le radici quadrate), si ricava la formula del coseno.
Osservazione
Valgono anche le seguenti formule:
-
$$cotg(\alpha)= \frac{ cos(\alpha)}{ sin(\alpha)}$$
per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k\) un numero intero. -
$$ sec(\alpha)= \frac{ 1}{ cos(\alpha)}$$
per \(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) con \(k\) un numero intero. -
$$ cosec(\alpha)= \frac{ 1}{ sen(\alpha)}$$
per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k\) un numero intero.
Formule di somma e sottrazione
Queste formule ci permettono di spezzare la somma di due angoli di una funzione trigonometrica con una combinazione di funzioni trigonometriche che hanno un solo angolo tra parentesi, cioè
$$sen(\alpha + \beta)=sen(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$$
$$sen(\alpha - \beta)=sen(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$$
$$cos(\alpha + \beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sin(\beta)$$
$$cos(\alpha - \beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sen(\alpha)sin(\beta)$$
$$tg(\alpha + \beta)= \frac{tg(\alpha)+tg( \beta)} {1- tg(\alpha)tg( \beta)}\quad con\>\alpha+\beta\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\>k\>intero$$
$$tg(\alpha - \beta)= \frac{tg(\alpha)-tg( \beta)} {1+ tg(\alpha)tg( \beta)} \quad con\>\alpha-\beta\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\>k\>intero$$
Osservazione
Dalle formule della tangente si possono ricavare le formule della cotangente, scrivendo quest’ultima come:
$$cotg(\alpha + \beta)=\frac{1}{ tg(\alpha + \beta)}$$
per \(\alpha+\beta \neq k\pi\) con \(k\) un numero intero.
Osservazione
Conoscendo le formule di addizione e sottrazione posso ricavarmi anche formule del tipo
$$cos(\pi+\alpha)=cos(\pi)cos(\alpha)-sen(\pi)sin(\alpha)= -cos(\alpha)$$
Formule di duplicazione
Ci consentono di scomporre la funzione trigonometrica del doppio di un angolo:
$$sen(2\alpha)=2sen(\alpha)cos(\alpha)$$
$$cos(2\alpha)=cos^2(\alpha)-sen^2(\alpha)$$
$$tg(2\alpha)=\frac{2tg(\alpha)}{1-tg^2(\alpha)}\quad con\>\alpha\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\>e\>\alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\>k\>intero$$
Formule parametriche
Permettono di esprimere le funzioni trigonometriche tramite una funzione polinomiale. Sono molto usate nel calcolo di integrali di funzioni trigonometriche particolari.
$$sen(\alpha)=\frac{2x}{1+x^2}\quad con\>x=tg\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)\>e\>\alpha\neq \pi+2k\pi,\>k\>intero$$
$$cos(\alpha)=\frac{1-x^2}{1+x^2}\quad con\>x=tg\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)\>e\>\alpha\neq \pi+2k\pi,\>k\>intero$$
$$tg(\alpha)=\frac{2x}{1-x^2}\quad con\>x=tg\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl),\>\alpha\neq \pi +2k\pi\>e\>\alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\>k\>intero$$
Formule di bisezione
Le usiamo per scomporre la funzione trigonometrica della metà di un angolo:
$$sen\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)=\pm\sqrt{\frac{1- cos(\alpha)}{2}}$$
$$cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)=\pm\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}$$
$$tg\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)=\pm\sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{ 1+cos(\alpha)}}\quad con\>\alpha\neq\pi +2k\pi,\>k\>intero$$
Formule di prostaferesi
Con queste possiamo scrivere le somme o le differenze di seni o coseni applicati su due angoli differenti come il prodotto di seno per coseno:
$$sen(\alpha)+ sen(\beta)=2sen\biggl(\frac{\alpha + \beta}{2}\biggl)cos\biggl(\frac{\alpha - \beta}{2}\biggl)$$
$$sen(\alpha)- sen(\beta)=2cos\biggl(\frac{\alpha + \beta}{2}\biggl)sen\biggl(\frac{\alpha - \beta}{2}\biggl)$$
$$cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos\biggl(\frac{\alpha + \beta}{2}\biggl)cos\biggl(\frac{\alpha - \beta}{2}\biggl)$$
$$cos(\alpha)- cos(\beta)=-2sen\biggl(\frac{\alpha + \beta}{2}\biggl)sen\biggl(\frac{\alpha - \beta}{2}\biggl)$$
Formule di Werner
Infine, con le formule di Werner, siamo in grado di riscrivere il prodotto di seni e coseni, applicati su due angoli differenti, nel seguente modo
$$ sen(\alpha) sen(\beta)=\frac{1}{2}[ cos(\alpha-\beta) -cos(\alpha +\beta)]$$
$$cos(\alpha) cos(\beta)=\frac{1}{2}[ cos(\alpha-\beta) +cos(\alpha +\beta)]$$
$$sen(\alpha) cos(\beta)=\frac{1}{2}[ sen(\alpha-\beta) +sen(\alpha +\beta)]$$