Il limite di funzione è un argomento molto utile in matematica e serve per capire come si comporta una funzione vicino a un punto del suo dominio. Molte volte, nel calcolo del limite, ci imbattiamo in delle forme indeterminate. Queste indeterminazioni, in alcuni casi si possono eliminare con dei semplici procedimenti algebrici, ma nella stragrande maggioranza dei casi non è per nulla semplice eliminarle e quindi arrivare a un risultato. I limiti notevoli sono limiti di particolari funzioni ricorrenti, di cui si arriva a un risultato solo attraverso procedimenti tortuosi: quindi, all’atto pratico, vengono dimostrati una volta sola e poi dati sempre per buoni.
In questa lezione non ci inoltreremo nelle dimostrazioni di tali limiti, ma ci limiteremo a dare una tabella dei limiti notevoli e fare alcuni esempi per fissare il concetto. Prima di cominciare a elencarli, però, ricordiamo quali sono le forme indeterminate in cui possiamo imbatterci:

Forme indeterminate

$$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]\>\> \biggl[\frac{\infty }{\infty }\biggl]\>\> [\infty \cdot0]\>\> [1^\infty]\>\> [\infty-\infty]\>\> [0^0]\>\> [\infty^0]$$

Tabella dei limiti notevoli e risoluzione

L: limite
F.I.= forma indeterminata

  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x}=1$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{tg(x)}{x}=1$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
    Questo si può ricavare facilmente dai limiti notevoli precendenti:
    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{tg(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x}\cdot \frac{1}{cos(x)}=1$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x}=0$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
    Si ricava dai precedenti moltiplicando e dividendo per x:
    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x}\frac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x^2}x=0$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{arcsen(x)}{x}=1, $F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{arctg(x)}{x}=1$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}=1$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log_{a}{(1+x)}}{x}=\frac{1}{ln(a)}$ per $a>0$ e $a\neq 1$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
    Si può ricavare dal precedente facendo il cambiamento di base del logaritmo( $a>0$ e $a\neq 1$ ci garantiscono che non ricadiamo in forme indeterminate di nuovo):
    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log_{a}{(1+x)}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{ ln(a)x}=\frac{1}{ln(a)}$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0^+} xln(x)=0$, F.I.:$[\infty \cdot0]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}=1$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x}=ln(a)$ per $a>0$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a$ per $a$ qualunque numero in $\mathbb{R}$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow \pm\infty} \biggl( 1+\frac{1}{x}\biggl)^x=e$, F.I.:$[1^\infty]$
  • L:$\lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^ \frac{1}{x}=e$, F.I.:$[1^\infty]$
    Si può ricavare dal precedente facendo il cambio di variabile $y=\frac{1}{x}$
    $\lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^ \frac{1}{x}=\lim_{y\rightarrow \pm\infty} \biggl( 1+\frac{1}{y}\biggl)^y=e$,

Attenzione!!
I risultati dei limiti notevoli precedenti valgono ancora se al posto di $x$ avremmo avuto una funzione qualunque $f(x)$!!
Quindi potremmo riscrivere la lista in questo modo:

  • L:$\lim_{ f(x)\rightarrow 0} \frac{sen(f(x))}{ f(x)}=1$, F.I.:$\biggl[\frac{0}{0}\biggl]$
    Ecc…….

Esempi

  • Calcola $\lim_{ x\rightarrow 0} \frac{sen(x^2)}{1-cosx}$.
    Moltiplicando e dividendo per $x^2$ il limite di partenza avremo:
    $\lim_{ x\rightarrow 0} \frac{sen(x^2)}{1-cosx}=\lim_{ x\rightarrow 0} \frac{sen(x^2)}{x^2}\frac{x^2}{1-cosx}$
    Ora poiché quando $x\rightarrow 0$ la funzione $x^2\rightarrow 0$:
    $\lim_{ x\rightarrow 0} \frac{sen(x^2)}{x^2}=\lim_{ x^2\rightarrow 0} \frac{sen(x^2)}{x^2}=1$
    Poi abbiamo:
    $\lim_{ x\rightarrow 0} \frac{x^2}{1-cosx}=\lim_{ x\rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1-cosx}{x^2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
    In conclusione:
    $\lim_{ f(x)\rightarrow 0} \frac{sen(x^2)}{1-cosx}=1\cdot2=2$
  • Calcola $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x^2)}{e^{x^3}-1}$.
    Stavolta, invece, moltiplichiamo e dividiamo per $x^3$:
    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x^2)}{e^{x^3}-1}= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x^2)}{x^2} \frac{x^3}{e^{x^3}-1}\frac{1}{x}$
    Per $x\rightarrow 0$ la funzione $x^2\rightarrow 0$:
    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x^2)}{x^2}= \lim_{x^2\rightarrow 0} \frac{ln(1+x^2)}{x^2}=1$
    Per $x\rightarrow 0$ la funzione $x^3\rightarrow 0$:
    $ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^3}{e^{x^3}-1}= \lim_{x^3\rightarrow 0} \frac{x^3}{e^{x^3}-1}= \lim_{x^3\rightarrow 0} \frac{1}{\frac{e^{x^3}-1}{x^3}}=1$
    Infine:
    $ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}=\infty$
    E concludendo il risultato sarà:
    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x^2)}{e^{x^3}-1}=\infty$
  • Calcola $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1}{sin(2x)}$
    Come in precedenza, moltiplico e divido per $2x$:
    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1}{sin(2x)}= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{2} \frac{e^x-1}{x} \frac{2x}{sin(2x)}$
    Ora:
    - $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}=1$
    - $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2x}{sin(2x)}=1$
    E ci resta $\frac{1}{2}$! Quindi il limite sarà:
    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1}{sin(2x)}= \frac{1}{2}$