La sfera è un solido costruito dalla rotazione completa di una semicirconferenza attorno al suo diametro, per questo viene classificato come solido di rotazione: l’asse di rotazione del solido, in questo caso, è il diametro della semicirconferenza. Questa gode di due proprietà molto importanti:
- i punti sulla superficie sono tutti equidistanti dal centro, con distanza uguale al raggio della sfera;
- ogni retta passante per il centro della sfera è un asse di simmetria, quindi è una figura a simmetria centrale.
Andiamo a vedere come si calcola il volume della sfera partendo da diversi dati iniziali!
Volume della sfera
Per calcolare il volume della sfera ci serve conoscere la misura del suo raggio, quindi diamo per noto questo dato.
Sia \(r\) il raggio di una sfera, allora il suo volume \(V\) sarà:
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
Esempio
- Sia \(r=12cm\) il raggio di una sfera. Calcolare il volume del solido.
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (12\>cm)^3=7238,23\>cm^3$$
Volume della sfera conoscendo il diametro
Questo è un caso che si ricava molto facilmente dalla formula generale, infatti basta ricordarsi la relazione tra raggio e diametro della sfera ed il gioco è fatto! Conoscendo il diametro \(d\) e denotando con \(r \) il raggio, abbiamo la seguente relazione:
$$d=2r\>ossia\>r=\frac{d}{2}$$
e sostituendo alla formula generale del volume:
$$V=\frac{4}{3}\pi\biggl(\frac{d}{2}\biggl)^3$$
Esempio
- Sia \(d=12cm\) il diametro di una sfera. Calcolare il volume del solido.
Dobbiamo, come fatto qui sopra, ricavare il raggio della sfera e poi calcolarne il volume, quindi:
$$r=\frac{d}{2}=\frac{12\>cm }{2}=6\>cm $$
e
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (6\>cm)^3=904,78\>cm^3$$
Volume della sfera conoscendo il perimetro di qualunque circonferenza ottenuta dall’intersezione di un piano, passante per il centro della sfera, con la stessa
Notiamo che se intersechiamo la sfera con un piano passante per il suo centro otteniamo una circonferenza con raggio coincidente a quello della sfera. Supponiamo di conoscere il perimetro della circonferenza e denotiamo con la lettera \(C\) tale misura. Dalla formula del perimetro della circonferenza abbiamo:
$$C=2\pi r\>ossia\>r=\frac{C}{2\pi}$$
e dalla formula del volume abbiamo:
$$V=\frac{4}{3}\pi\biggl(\frac{C}{2\pi}\biggl)^3$$
Esempio
- Sia \(C=16cm\) il perimetro di una circonferenza ottenuta intersecando una sfera con il piano passante per il centro di essa. Calcolcolare il volume della sfera.
Ripercorrendo i passi visti sopra:
$$r=\frac{C}{2\pi}=\frac{16\>cm}{2\pi}=2,55\>cm$$
e il volume sarà:
$$V==\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(2,55\>cm)^3=10,68\>cm^3$$
Volume della sfera conoscendo l’area di qualunque circonferenza ottenuta dall’intersezione di un piano, passante per il centro della sfera, con la stessa
Valgono le stesse osservazioni precedenti. Sia \(A\) l’area della circonferenza ottenuta come prima, allora per la formula dell’area della circonferenza:
$$A=\pi r^2\>ossia\>r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$$
quindi:
$$V=\frac{4}{3}\pi\sqrt{\biggl(\frac{A}{\pi}\biggl)^3}$$
Esempio
- Sia \(A=64cm^2\) l’area di una circonferenza ottenuta intersecando una sfera con il piano passante per il centro di essa. Calcolcolare il volume della sfera.
Come fatto poco fa:
$$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}=\sqrt{\frac{64\>cm^2}{\pi}}=4,51\>cm$$
e il volume sarà:
$$V==\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(4,51\>cm)^3=385,15\>cm^3$$
Volume della sfera conoscendo la superficie totale
Ricordiamo come si ricavava la superficie totale \(S_T\) della sfera:
$$S_T=4\pi r^2$$
da qui, risolvendo l’equazione, ricaviamo facilmente il raggio:
$$r=\sqrt{\frac{S_T}{4\pi}}$$
e sempre sostituendo al volume della sfera:
$$V=\frac{4}{3}\pi\sqrt{\biggl(\frac{S_T}{4\pi}\biggl)^3}$$
Esempio
- Sia \(S_T=169cm^2\) la superficie totale di una sfera. Calcolare il volume della sfera.
Il raggio della sfera sarà:
$$r=\sqrt{\frac{S_T}{4\pi}}=\sqrt{\frac{169\>cm^2}{4\pi}}=3.67\>cm$$
e quindi il volume:
$$V==\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(3.67\>cm)^3=206,59\>cm^3$$