In questa e nelle prossime lezioni, continuiamo a parlare di equazioni . Finalmente in questa lezione vedremo come risolvere le equazioni di primo grado in un’incognita utilizzando il primo principio di equivalenza e il secondo principio di equivalenza e le loro applicazioni.
Le equazioni di primo grado in una incognita sono equazioni in cui compare una sola incognita con esponente uguale ad 1.
Prima di iniziare facciamo un breve ripasso dei principi e del loro funzionamento, in modo da non avere problemi.
Primo principio di equivalenza
Formalmente, il primo principio di equivalenza afferma che se aggiungiamo o sottraiamo la stessa quantità a entrambi I membri di una equazione, la nuova equazione così ottenuta è equivalente alla precedente.
Se trasportiamo un addendo da una parte all’altra del segno di uguaglianza cambiandogli il segno otteniamo una equazione equivalente.
Secondo principio di equivalenza
Formalmente, il secondo principio di equivalenza afferma che: se moltiplichiamo o dividiamo per la stessa quantità non nulla a entrambi i membri di una equazione, la nuova equazione così ottenuta è equivalente alla precedente.
Se trasportiamo un fattore da una parte all’altra del segno di uguaglianza portandolo al denominatore se era al numeratore o al numeratore se si trovava al denominatore otteniamo una equazione equivalente.
Risoluzione equazione di primo grado
Per risolvere una equazione di primo grado si procede nel modo seguente:
1) Utilizzando il primo principio di equivalenza, si portano al primo membro (a sinistra dell’uguale) tutti i termini che contengono un’incognita e al secondo membre (a destra dell’uguale) tutti I termini noti
2) Si svolgono i conti a entrambi i membri. A questo punto la nostra equazione dovrebbe avere la seguente forma:
$$ ax = b $$
dove a e b sono dei numeri.
3) Utilizzando il secondo principio di equivalenza delle equazioni si divide da entrambi i membri per a ottenendo come soluzione
$$ x = \frac{a}{b} $$
Vediamo insieme un esempio pratico.
Supponiamo di avere la seguente equazione di partenza
$$ 3x + 2 + 5 + 4x + 2x = 2x +7 + 14 $$
Utilizzando il primo principio di equivalenza, si portano al primo membro (a sinistra dell’uguale) tutti i termini che contengono un’incognita e al secondo membre (a destra dell’uguale) tutti I termini noti.
Otteniamo la seguente equazione equivalente:
$$ 3x+ 4x + 2x -2x = +7 + 14 - 2 - 5 $$
Svolgiamo i conti. Otteniamo la seguente equazione:
$$ 7x = 14 $$
A questo punto, utilizzando il secondo principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per 7:
$$x =\frac{14}{7}$$
$$ x = 2 $$
Come prova, possiamo verificare che effettivamente \( x=2 \) è una soluzione dell’equazione di partenza. Basta sostituire 2 al posto di \( x \) nell’equazione
$$ 3x + 2 + 5 + 4x + 2x = 2x +7 + 14 $$
e verificare che venga un’identità:
$$ 3 \cdot 2 + 2 + 5 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 +7 + 14 = $$
$$ 6 + 2 + 5 + 8 +4 = 4 +7 + 14 = $$
$$25 = 25 $$
Perfetto!
Finalmente, nella prossima lezione, vedremo degli esercizi pratici in cui è indispensabile l’uso delle equazioni e la loro risoluzione.