Le equazioni lineari di primo grado possono essere usate per trovare il termine incognito di un relativo problema. Questa è un’ottima applicazione delle equazioni e può aiutare non solo a comprendere il perché siano state introdotte, ma anche a sviluppare il ragionamento che c’è sotto a questi problemi. Non c’è un metodo ben preciso per risolve un problema di primo grado.
Diamo di seguito delle linee guida per la risoluzione:

  • Leggere ben attentamente il testo del problema per capire cosa chiede.
  • Individuare il termine incognito del problema. Questo è un passo fondamentale su cui ci dobbiamo basare per impostare la nostra equazione: l’incognita sarà la \(x\) dell’equazione.
  • Discutere le condizioni di accettabilità della soluzione, cioè quando l’equazione ci restituisce un risultato sensato rispetto alla richiesta del problema.
    Se per esempio il problema richiede di calcolare la lunghezza di un percorso non ci possiamo aspettare un risultato negativo dell’equazione.
  • Scrivere l’equazione del problema usando tutti i dati a nostra disposizione e collegandoli in maniera opportuna, con le operazioni e l’uguaglianza, alla nostra incognita. Questo passo non è semplice e richiede un po’ di esercizio.
  • Risolvere l’equazione lineare di primo grado impostata nel punto precedente e verificare se la soluzione rientra nelle condizioni di accettabilità impostate in precedenza: se la risposta è affermativa, a meno di errori, abbiamo trovato la soluzione del nostro problema di primo grado, se invece è negativa conviene ricontrollare i passi svolti prima.

Abbiamo visto come affrontare questo tipo di problemi! Facciamo, di seguito, un esempio per fissare meglio i passaggi da fare.

Esempio

Marco deve allenarsi per una gara di ciclismo, perciò decide di effettuare un percorso di 3 tappe. Nella prima tappa percorre i \(\frac{2}{5}\) del numero complessivo di \(km\), nella seconda gli \(\frac{5}{8}\) del tratto rimanente e nella terza gli ultimi \(27\>km\). Quanti \(km\) avrà percorso complessivamente?
Svolgimento:
Seguiamo man a mano i passi elencati prima…
Dopo aver letto il testo, dobbiamo individuare l’incognita del nostro problema. In questo caso si nota chiaramente dal testo che l’incognita \(x\) del problema è il percorso complessivo fatto da Marco nei suoi tre giorni di allenamento. Quindi:

$$x=”Percorso\> complessivo”$$


Chiaramente ci aspettiamo nella soluzione in \(x\) un numero strettamente positivo, poiché un numero negativo non avrebbe senso. La nostra condizione di accettabilità è allora \(x>0\).
Impostiamo ora l’equazione poco per volta. La prima affermazione ci dice che il primo giorno Marco ha percorso i \(\frac{2}{5}\) del totale. I \(km\) percorsi in questa prima giornata saranno allora

$$\frac{2}{5}x$$


Il secondo giorno percorre i \(\frac{5}{8}\) del percorso rimanente. Qui dobbiamo scrivere in formule il percorso che ci rimane dopo il primo giorno e poi valutare i suoi \(\frac{5}{8}\). I \(km\) che ci rimangono saranno la differenza tra i \(km\) totali \(x\) e quelli percorsi il primo giorno \(\frac{2}{5}x\)

$$\biggl(x-\frac{2}{5}x\biggl)$$


Di cui vogliamo però i \(\frac{5}{8}\)

$$\frac{5}{8}\biggl(x-\frac{2}{5}x\biggl)$$


Abbiamo così trovato il monomio per i \(km\) percorsi nel secondo giorno. Unendo ora tutte le informazioni avremo che la somma dei \(km\) percorsi nei singoli giorni mi deve dare il percorso complessivo:

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{8}\biggl(x-\frac{2}{5}x\biggl)+27=x$$


Abbiamo trovato quindi l’equazione lineare del problema!
Risolvendola avremo, infine, che Marco ha percorso complessivamente \(120\>km\) nei suoi tre giorni di allenamento.