Finalmente, dopo aver visto, come risolvere le equazioni di primo grado in una incognita utilizzando primo principio di equivalenza e il secondo principio di equivalenza, vedremo come risolvere alcuni problemi pratici.
Ricordiamo qui brevemente i passaggi da effettuare per risolvere un’equazione di primo grado, che abbiamo trattato in dettaglio nella scorsa lezione
Per risolvere una equazione di primo grado si procede nel modo seguente:
- Utilizzando il primo principio di equivalenza, si portano al primo membro (a sinistra dell’uguale) tutti i termini che contengono un’incognita e al secondo membro (a destra dell’uguale) tutti I termini noti
- Si svolgono i conti a entrambi i membri. A questo punto la nostra equazione dovrebbe avere la seguente forma:
-
$$ ax = b $$
- dove a e b sono dei numeri.
- Utilizzando il secondo principio di equivalenza delle equazioni si divide da entrambi i membri per a ottenendo come soluzione
$$ x = \frac{a}{b} $$
Problemi pratici con le equazioni
La risoluzione di una equazione di primo grado in una incognita è molto semplice. La parte più delicata, dato un problema pratico, è scrivere la giusta equazione da risolvere. Vediamo alcuni esempi.
Iniziamo con un esempio semplice:
Un numero è uguale al suo doppio diminuito di 1. Di che numero si tratta
Posta l’incognita \(x \) come il numero cercato, l’equazione associata al problema risulta la seguente:
$$ x = 2x -1$$
da cui
$$ x -2x = -1$$
$$ -x = -1 $$
Moltiplicando per -1 entrambi I membri, otteniamo che l’unico numero che gode di questa proprietà è il numero:
$$x=1$$
Esempio
Un trucco di magia: pensa un numero, moltiplicalo per 2 e aggiungi 18 dividi tutto per 2 e sottrai il numero che hai pensato all’inizio.
Col potere della matematica prevedo che il risultato è 9!
L’ovvia soluzione è che il risultato non dipende dal numero che hai pensato all’inizio. Infatti
$$ \frac{2x + 18}{2} – x = 9 $$
è una equazione che è verificata qualunque valore di \(x \) : è una identità.
Moltiplichiamo per 2 entrambi i membri
$$ 2 (\frac{2x + 18}{2} – x) = 2 \cdot 9 $$
$$ 2x + 18 – 2x = 18 $$
$$ 18 = 18 $$
Passiamo ora ad un problema un po’ più complicato:
Quanti sono i ragazzi di un club sportivo se la metà di questi pratica il tennis, 1/4 il nuoto, 1/9 la ginnastica ritmica e 5 il basket?
Posta l’incognita \(x \) come il numero di ragazzi del club, l’equazione associata al problema risulta la seguente:
“Se ai ragazzi del club ne togliamo un mezzo poi un quarto e un nono alla fine ne rimangono 5”
$$ x -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} x - \frac{1}{9} x = 5 $$
Utilizzando i passi descritti all’inizio della lezione abbiamo che
$$ \frac{ 36-18-9-4 }{36} x = - 5 $$
$$ \frac{ 5}{36} x = 5 $$
da cui moltiplicando per
$$ \frac{36}{5} $$
entrambi I membri, otteniamo
$$ x = 36 $$
Esempio
Come esercizio potete provare a risolvere questo problema classico.
Si racconta che Diofanto d’Alessandria (vissuto probabilmente fra il 150 ed il 250 d.C.), famoso per le raccolte dei sui problemi aritmetici, fece scrivere sulla sua tomba:
Dio gli concesse di rimanere fanciullo un sesto della sua vita; dopo un altro dodicesimo le sue guance germogliarono; dopo un settimo egli accese la fiaccola del matrimonio e dopo cinque anni gli nacque un giglio. Ma questi - fanciullo disgraziato e pur tanto amato! - aveva raggiunto la metà dell’età a cui doveva arrivare il padre , quando morì. Quattro anni ancora, mitigando il proprio dolore coll’occuparsi delle scienze dei numeri, attese Diofanto prima di raggiungere il termine della sua esistenza.
Sei in grado di risolvere questo famoso enigma impostandone l’equazione corretta?(La soluzione corretta è $x=84.$)