In questa lezione parliamo di espressioni in cui compaiono delle frazioni, facendo un ripasso delle regole generali e svolgendo, per finire, un esercizio pratico. Le espressioni con le frazioni sono un argomento conclusivo e coinvolge molti degli strumenti di cui abbiamo parlato nelle scorse lezione: regole generali per risolvere espressioni, priorità delle operazioni, proprietà delle operazioni, le frazioni, operazioni tra frazioni, frazioni equivalenti, minimo comune multiplo. Partiamo richiamando alcune nozioni.

Fai attenzione
Queste regole riguardano l’ordine in cui vanno eseguite le diverse operazioni, in ordine di priorità:

1. Potenze
2. Moltiplicazioni e divisioni
3. Addizioni e sottrazioni

A parità di priorità si procede nell’ordine in cui sono scritte cioè da sinistra verso destra.

Parentesi
Le parentesi che vengono usate nelle espressioni aritmetiche possono essere di diverso tipo. Esistono 3 tipi di parentesi: le parentesi tonde, le parentesi quadre e le parentesi graffe.

1. Per prime si svolgono le operazioni racchiuse in parentesi tonde ( ... )
2. Poi si passa alle operazioni racchiuse tra parentesi quadre [ … ]
3. Per finire si passa alle operazioni racchiuse tra parentesi graffe

Somma e sottrazione tra frazioni
È semplice sommare/sottrarre frazioni che hanno lo stesso denominatore: il risultato finale non è altro che una frazione che ha come denominatore lo stesso delle prime e numeratore pari alla somma/differenza delle frazioni che vogliamo sommare sottrarre

Come si procede in generale quando le frazioni non hanno stesso denominatore? Le trasformiamo in frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore.

Si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni di partenza, questo diventerà il denominatore della le nuove frazioni equivalenti alle prime .

Come si trasforma la prima frazione? Si divide il minimo comune multiplo per il denominatore. Il numeratore sarà il vecchio numeratore moltiplicato per il risultato dell’operazione precedente. Per le altre frazioni si procede nello stesso modo.

Ti consiglio di dare un’occhiata alla lezione dedicata alla somma di frazioni per trovare degli esempi. In caso non ti fosse chiaro qualcosa puoi infatti rilegge alla fine di questa lezione tutte le precedenti riguardanti le frazioni e il loro modo di operare.

Prodotto di frazioni e divisione di frazioni

Il prodotto di frazioni è un’operazione più semplice della somma. Il prodotto di frazioni non è altro che una frazione che ha come numeratore il prodotto dei numeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni di partenza.

In formule

$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

Se dobbiamo dividere una frazione per un’altra il risultato è lo stesso che si ha moltiplicando la prima frazione per la frazione inversa della seconda.

In formule

$$ \frac{a}{b} : \frac{d}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}.$$

Leggi le lezioni dedicate al prodotto e divisione di frazioni se non ti è tutto chiaro: troverai degli esempi che sicuramente ti aiuteranno a capire.
Per completezza ti consiglio di dare un’occhiata anche alla lezione in cui viene spiegato l’operazione di elevamento a potenza con esponente positivo e negativo.

Finiamo con un esempio di espressione.

Esempio
Cerchiamo di risolvere insieme la seguente espressione:

$$ \bigg [ \bigg( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \bigg ) : \frac{1}{6} \bigg ] \times \frac{12}{24} =$$

svolgiamo prima operazioni nella parentesi tonda, abbiamo una grande somma/sottrazione bisogna trasformare tutte le frazioni in frazioni equivalenti che abbiano come denominatore il minimo comune multiplo dei denominatori 4,2 e 6

$$ mcm(4,2,6) = 12 $$

Seguendo le istruzioni che abbiamo spiegato nella sezione dedicata alla somma e alla sottrazione di frazioni abbiamo la seguente espressione con frazioni equivalenti

$$= \bigg [ \bigg( \frac{9}{12} + \frac{6}{12} - \frac{2}{12} \bigg ) : \frac{1}{6} \bigg ] \times \frac{12}{24} =$$


a questo punto le frazioni hanno tutte lo stesso denominatore e sappiamo calcolare il risultato:

$$= \bigg [ \bigg( \frac{9+6-2}{12} \bigg) : \frac{1}{6} \bigg ] \times \frac{12}{24} = $$

$$= \bigg [ \frac{13}{12} : \frac{1}{6} \bigg ] \times \frac{12}{24} = $$

Passiamo alla divisione nella parentesi quadra, ricordando che dividere è come moltiplicare per il reciproco, la nostra espressione diventa:

$$= \bigg [ \frac{13}{12} \times \frac{6}{1} \bigg ] \times \frac{12}{24} = $$

adesso possiamo svolgere la moltiplicazione. Ricordiamo che nelle moltiplicazioni si può semplificare in croce. Semplifichiamo il 6 e il 12 dividendoli entrambi per 6.

$$= \bigg [ \frac{13}{2} \times \frac{1}{1} \bigg ] \times \frac{12}{24} = $$

a questo punto la moltiplicazione è banale

$$= \frac{13}{2} \times \frac{12}{24} = $$

ci manca l’ultima moltiplicazione. Prima di procedere semplifichiamo la frazione di destra dividendo numeratore e denominatore per 12

$$= \frac{13}{2} \times \frac{1}{2} = $$

a questo punto svolgiamo la moltiplicazione: la frazione finale sarà il prodotto dei numeratori e il denominatore finale sarà il prodotto dei denominatori.

$$= \frac{13}{4}. $$

Per ripassare: