In questa lezione parliamo di frazioni numeriche richiamando le prime definizioni e analizzando le diverse tipologie di frazione e il loro significato pratico.

Definizione
Una frazione numerica o più semplicemente, una frazione, è un modo alternativo per indicare il rapporto di due numeri interi.
Dati due numeri interi a,b con b diverso da zero, si indica il rapporto a : b con la frazione

$$\frac{a}{b}.$$


a è detto numeratore della frazione
b è detto denominatore della frazione.

Operatore frazione

Le frazioni possono essere utilizzate per determinare una parte (o più parti) di una fissata quantità; in questo senso sono spesso usate nella vita quotidiana: tutti abbiamo idea di cosa sia mezza $\frac{1}{2} $ pizza o un quarto $\frac{1}{4}$ d’ora,
Mentalmente, per visualizzare mezza pizza, dividiamo questa in 2 parti e ne consideriamo una.
Una cosa simile facciamo per determinare un quarto d’ora su un orologio analogico: dividiamo il cerchio che rappresenta un’ora in quattro parti e ne consideriamo solo uno spicchio.
In generale data una frazione $\frac{a}{b}$ e una quantità Q, per determinare la frazione $\frac{a}{b}$ di Q dividiamo Q in b parti e ne consideriamo a.
Se Q è una quantità numerica (un numero) questo procedimento equivale a dividere Q per b e moltiplicare il risultato per a, o, ottenendo lo stesso risultato, moltiplicare Q per (a : b).

Esempio
Un quarto d’ora è $\frac{1}{4} $ di 60 minuti. In questo caso a = 1, b = 4, Q = 60.

$$ Q : b = 60 : 4 = 15, \qquad 15 \times a = 15 \times 1 = 15 $$


che è esattamente il numero di minuti che definiscono un qurto d’ora.

Allo stesso modo avremmo potuto moltiplicare Q per (a : b).

$$ (a : b) = (1 : 4) = 0,25 , Q \times 0,25 = 60 \times 0,25 = 15 $$

stesso risultato di prima.

Tipologie di frazioni

Le frazioni prendono diversi nomi in base a come si comportano numeratore e denominatore:
• Le frazione che hanno il numeratore a = 1 si dicono frazioni unitarie.

Esempio

$$ \frac{1}{2} , \qquad \frac{1}{3} , \qquad \frac{1}{5} , \qquad \dots $$


Le frazione unitarie sono quelle che indicano una delle b parti in cui viene divisa la quantità Q. Sono importanti perché tutte le altre frazioni della quantità Q possono essere ottenute moltiplicando una opportuna frazione unitataria.

• Le frazioni che hanno numeratore minore del denominatore a < b si dicono frazioni proprie

Esempio

$$\frac{3}{4} , \qquad \frac{5}{6} , \qquad \mbox{ le frazioni unitarie} $$

Le frazioni proprie sono quelle frazioni che indicno veramente una parte dell’intera quantità perché si divide la quantità Q in un numero inferiore a quante se ne considerano proprio perché il numeratore è minore del denominatore.

• Le frazioni che hanno a > b si dicono frazioni improprie

Esempio

$$ \frac{4}{3} , \qquad \frac{7}{2}, \qquad\dots $$


Le frazioni improprie sono quelle frazioni che non indicno veramente una parte dell’intera quantità perché si divide la quantità Q in un numero superiori alle parti che se ne considerano proprio perché il numeratore è maggiore del denominatore.
Applicando una frazione impropria ad una quantità Q, si ottiene una quantità maggiore di Q

• Le frazioni apparenti sono invece quelle frazioni che rappresentano in realtà un numero intero.

Esempio

$$ \frac{4}{2} , \qquad \frac{6}{3}, \qquad \frac{8}{4}, \qquad\dots $$


Per scoprire se una frazione è impropria basta ridurla ai minimi termini; se il denominatore della frazione ridotta è b=1 allora la frazione è apparente.