Continuiamo a parlare di frazioni e continuiamo a scoprire tutte le operazione che si possono effettuare. Dopo aver imparato a confrontare le frazioni, in questa lezione il nostro scopo sarà, date due frazioni, scoprire come si possano sommare o sottrarre.

Operazione di base, possibile con le frazioni, in seguito andremo poi a vedere in che modo dividere e moltiplicare le frazioni e come elevare a potenza. Operazioni più complesse che però potranno essere svolte in modo agevole con i nostri esempi.

Richiamo
Data una frazione $\frac{a}{b}$ ricordiamo (come sempre) che
$a$ viene chiamato numeratore della frazione,
$b$ viene chiamato denominatore della frazione.

Due frazioni con lo stesso denominatore

Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è molto facile sommarle o sottrarle il risultato di questa operazione non è altro che una frazione che ha lo stesso denominatore delle precedenti e al numeratore la somma o la sottrazione dei due numeratori di partenza.

Esempio

$$\frac{7}{4} + \frac{2}{4} = \frac{7+2}{4} = \frac{9}{4} $$


$$\frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{9-2}{3} = \frac{7}{3}$$

Questo metodo è abbastanza intuitivo: se abbiamo una pizza la dividiamo in 5 parti, se ne prendiamo 2 pezzi e poi ne prendiamo altri 2 e come se all’inizio avessimo presi 4 dei 5 pezzi iniziali!

Matematicamente:

$$\frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{2+2}{5} = \frac{4}{5} $$

Caso generale

Come possiamo procedere nel caso in cui le due frazioni non abbiano lo stesso denominatore?

Esattamente come abbiamo fatto nella scorsa lezione, in cui volevamo confrontare le due frazioni, si trasformano le due frazioni in nuove frazioni equivalenti che hanno stesso numeratore o denominatore e a quel punto sappiamo sommarle o sottrarle.

Per fare questo cerchiamo di rendere i due denominatori uguali. Calcoliamo il minimo comune multiplo dei due denominatori, questo diventerà il denominatore di entrambe le nuove frazioni equivalenti alle prime due.

Come si trasforma la prima frazione? Si divide il minimo comune multiplo per il denominatore. Il numeratore sarà il vecchio numeratore moltiplicato per il risultato dell’operazione precedente.

Per la seconda frazione si procede nello stesso modo.

Esempio
Calcoliamo insieme il risultato di

$$\frac{6}{5} + \frac{2}{3}.$$

Si calcola il minimo comune multiplo tra i due denominatori

$$ m.c.m(5,3) = 15 ;$$

il nuovo numeratore sarà i prodotto tra il vecchio numeratore e il risultato della divisione tra m.c.m appena calcolato e il vecchio denominatore.

Il primo nuovo numeratore:

$$ 6 \times (15 : 5 ) = 6 \times 3 = 18 $$

il secondo nuovo denominatore:

$$ 2 \times (15 : 3 ) = 10 $$

Le due nuove frazioni avranno lo stesso denominatore pari al m.c.m tra i due vecchi denominatori e i nuovi numeratori appena calcolati Quindi ora dobbiamo ora calcolare:

$$\frac{18}{15} + \frac{10}{15}$$

Come esercizio puoi provare a verificare che le due frazioni trovate sono veramente equivalenti alle due di partenza, utilizzando il criterio spiegato nella lezione sulle frazioni equivalenti.

A questo punto il risultato sarà una frazione che ha come denominatore lo stesso delle prime due e come numeratore la somma dei numeratori delle due frazioni:

$$\frac{18 +10}{15} = \frac{28}{15}$$

La cosa non cambia se invece della somma avessimo voluto calcolare la differenza tra le due frazioni: il numeratore sarebbe stato la differenza dei numeratori delle due frazioni.

Nella prossima lezione vedremo come fare il prodotto o la divisione tra frazioni. Procedimento più semplice e immediato rispetto al metodo di somma e sottrazione che abbiamo analizzato in questa lezione.