Continuiamo a parlare di frazioni. In particolare in questa lezione impareremo a confrontare le frazioni. Il nostro scopo sarà, date due frazioni, scoprire quali di queste rappresenta una quantità maggiore e quale una quantità minore.

Di seguito vediamo come funziona il metodo diretto di confronto delle frazioni, scopriamo qualche esempio e vediamo in che modo si risolvono.

Metodo diretto

Esiste un metodo diretto per fare questo: fare la divisione! Facciamo subito un esempio per riuscire a capire fino in fondo la questione e capire come effettuare il confronto tra frazioni mediante metodo diretto.

Quale di queste due frazioni è più grande: $\frac{1}{2} , \frac{2}{3}$?
In altre parole ci stiamo chiedendo se data una pizza, per mangiarne di più, ci conviene dividerla in due parti e prenderne 1 o dividerla in 3 parti e prenderne 2.
Già a occhio riusciamo a rispondere alla domanda. Il metodo diretto consiste nel fare le due divisioni e confrontare i risultati:

$$ \frac{1}{2} = 0,5 $$

$$ \frac{2}{3} = 0,666... $$

Dato che 0,666… è maggiore di 0,5 ne segue che $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$

Richiamo
Data una frazione $ \frac{a}{b} $ ricordiamo che
$a$ viene chiamato numeratore della frazione,
$b$ viene chiamato denominatore della frazione.

Già quando abbiamo parlato di frazioni e numeri razionali abbiamo visto che lo stesso numero razionale poteva essere espresso in termini di due frazioni differenti e nella scorsa lezione abbiamo trattato l’argomento nel dettaglio.

Esempio

$$ 0,5 = \frac{1}2 = 1 : 2 $$

d’altro canto

$$ 0,5 = \frac{2}4 = 2 : 4.$$

Ci chiediamo adesso di confrontare due frazioni nel caso queste non siano frazioni equivalenti. Partiamo dai casi più semplici.

Due frazioni con lo stesso numeratore

Se due frazioni hanno lo stesso numeratore, è semplice riconoscere quale delle 2 è la più grande! Basta prendere quella con denominatore più piccolo.

Questo risultato è abbastanza naturale, infatti ricordiamo che il denominatore rappresenta il numero di parti in cui dobbiamo dividere la nostra quantità (la pizza per intenderci) mentre il numeratore indica il numero di parti che ne dobbiamo prendere. A parità del numero di pezzi da prendere ci conviene dividere la pizza nel minor numero di parti per prenderne di più!

Esempio

$$\frac{2}{4} < \frac{2}{3}$$


$$\frac{5}{6} < \frac{5}{3}$$

Due frazioni con lo stesso denominatore

Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è molto facile riconoscere quale delle 2 è la più grande! Basta prendere quella con il numeratore più grande.

Anche in questo caso questa risposta era abbastanza intuitiva: a parità di numero di pezzi in cui abbiamo diviso la nostra pizza, se vogliamo mangiarne di più, dobbiamo prenderne più pezzi.

Esempio

$$\frac{2}{4} < \frac{6}{4}$$


$$\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$$

Caso generale
Come possiamo procedere nel caso due frazioni non abbiano ne lo stesso numeratore che denominatore?

Si trasformano le due frazioni in frazioni equivalenti che hanno stesso numeratore o denominatore e a quel punto sappiamo confrontarle.

Per fare questo cerchiamo di rendere i due denominatori uguali. Calcoliamo il minimo comune multiplo dei due denominatori, questo diventerà il denominatore di entrambe le nuove frazioni equivalenti alle prime due.

Come si trasforma la prima frazione? Si divide il minimo comune multiplo per il denominatore. Il numeratore sarà il vecchio numeratore moltiplicato per il risultato dell’operazione precedente.

Per la seconda frazione si procede nello stesso modo.

Esempio
Quale sara più grande tra queste due frazioni?

$$\frac{6}{5} \qquad \frac{2}{3}$$

si calcola il minimo comune multiplo tra i due denominatori

$$ m.c.m(5,3) = 15 $$

il nuovo numeratore sarà i prodotto tra il vecchio numeratore e il risultato della divisione tra m.c.m appena calcolato e il vecchio denominatore.

Il primo nuovo numeratore:

$$ 6 \times (15 : 5 ) = 6 \times 3 = 18 $$

il secondo nuovo denominatore:

$$ 2 \times (15 : 3 ) = 10 $$

Le due nuove frazioni avranno lo stesso denominatore pari al m.c.m tra i due vecchi denominatori e i nuovi numeratori appena calcolati.

$$\frac{18}{15} \qquad \frac{10}{15}$$

ed è semplice vedere, a questo punto, che la prima frazione è più grande. Come esercizio puoi provare a verificare che le due frazioni trovate sono veramente equivalenti alle due di partenza, utilizzando il criterio spiegato nella lezione precedente.

Il metodo qui descritto per fare in modo che due frazioni siano equivalenti a due nuove frazione che hanno lo stesso denominatore ci verrà utile e verrà richiamato anche nella prossima lezione sulla somma e sottrazione tra frazioni.