Continuiamo a parlare di frazioni; dopo aver scoperto come si possano sommare o sottrarre, moltiplicare o dividere tra loro due frazioni in questa lezione vediamo come procedere nel caso dell’elevamento a potenza.

Richiamo
Data una frazione $\frac{a}{b}$ ricordiamo che
$a$ viene chiamato numeratore della frazione,
$b$ viene chiamato denominatore della frazione.

Elevamento per una potenza positiva

Elevare una frazione per una potenza positiva $n \ $ significa semplicemente moltiplicare $n \ $ volte la frazione per se stessa.

Osservazione
Ricordiamo che il prodotto di frazioni non è altro che una frazione che ha come numeratore il prodotto dei numeratori delle frazioni di partenza e come denominatore il prodotto dei numeratori.

Per l’osservazione appena fatta risulta chiaro che elevando una frazione a una potenza $n \$ si ha una frazione che ha come numeratore il numeratore della frazione iniziale elevato alla $ n \ $ e come denominatore il denominatore iniziale elevato alla $n \$.

In altre parole

$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^n = \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \dots \times \frac{a}{b} = \frac{a \times a \times \dots \times a }{b \times b \times \dots \times b} = \frac{a^n}{b^n} ;$$

riassumendo si ha:

$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^n = \frac{a^n}{b^n} .$$

Esempio
Supponiamo di voler elevare alla terza la frazione

$$ \frac{2}{3}, $$

si ha:

$$ \bigg ( \frac{2}{3} \bigg )^3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2\times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} .$$

Cioè il risultato di una frazione da elevare alla terza è una frazione che ha lo stesso numeratore elevato alla terza e lo stesso denominatore elevato alla terza.

Supponiamo di voler elevare alla seconda la frazione

$$ \frac{5}{4} $$

Si ha:

$$ \bigg ( \frac{5}{4} \bigg )^2= \frac{5}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{5 \times 5}{4 \times 4} = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16} . $$

Elevamento per una potenza negativa

La procedura di elevamento per una potenza negativa si appoggia su quello di elevamento per una potenza positiva.

Elevando una frazione a una potenza $ -n $ si ha una frazione che ha come numeratore il denominatore della frazione iniziale elevato alla $ n \ $ e come denominatore il numeratore iniziale elevato alla n .

In formule si ha:

$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^{-n} = \frac{b^n}{a^n} .$$

Cioè il risultato dell’operazione di elevamento per un esponente negativo equivale a elevare per un esponente positivo la frazione inversa:

$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^{-n} = \bigg ( \frac{b}{a} \bigg )^{n} .$$

Esempio
Supponiamo di voler elevare alla -3 la frazione

$$ \frac{3}{2} , $$

si ha:

$$ \bigg ( \frac{3}{2} \bigg )^{-3} = \bigg ( \frac{2}{3} \bigg )^3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2\times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} . $$

Supponiamo di voler elevare alla -2 la frazione

$$ \frac{4}{5} $$

Si ha:

$$ \bigg ( \frac{4}{5} \bigg )^{-2} =\bigg ( \frac{5}{4} \bigg )^2= \frac{5}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{5 \times 5}{4 \times 4} = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16} . $$