Dopo aver visto cosa sono le frazioni e averle applicate per la risoluzione di alcuni problemi elementari, vediamo in questa lezione qualcosa che abbiamo già accennato nelle lezioni precedenti: l’equivalenza tra frazioni.

Richiamo
Data una frazione $\frac{a}{b}$ ricordiamo che
$a$ viene chiamato numeratore della frazione,
$b$ viene chiamato denominatore della frazione.

Già quando abbiamo parlato di frazioni e numeri razionali abbiamo visto che lo stesso numero razionale può essere espresso in termini di due frazioni differenti

Esempio

$$ 0,5 = \frac{1}{2} = 1 : 2 ,$$

d’altro canto

$$ 0,5 = \frac{2}{4} = 2 : 4.$$

In realtà, per la proprietà invariantiva della divisione, c’è un’infinità di modi in cui possiamo rappresentare il numero 0,5 infatti, preso $ n \ $ un qualunque numero naturale abbiamo:

$$ 0,5 = \frac{n}{2 \times n} = n : (2 \times n) -$$

In altri termini, se dividiamo una pizza in due parti e poi ne prendiamo una, o se dividiamo una pizza in 4 parti e ne prendiamo 2, o ancora più in generale se la dividiamo in $2 \times n $ parti e ne prendiamo $ n \ $
alla fine sempre la stessa quantità di pizza mangiamo!

Due frazioni si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero razionale. Nel senso di numeri razionali, due frazioni equivalenti sono “uguali”.

Come capire se due frazioni sono equivalenti

Un metodo è sicuramente quello di fare la divisione e controllare che venga lo stesso numero.

Un metodo alternativo è il seguente: supponiamo di avere due frazioni

$$\frac{a}{b} \qquad \frac{c}{d},$$

queste risulteranno equivalenti se e solo se

$$ a \times d = c \times b$$

Esempio
$\frac{1}{2} $ = $\frac{2}{4}$ infatti si ha che

$$ 1 \times 4 = 2 \times 2$$

Allo stesso modo mostriamo che $ \frac{20}{60} = \frac{1}{3} $

$$ 20 \times 3 = 1 \times 60 .$$

Frazione ridotta ai minimi termini

Tra tutte le possibili infinite rappresentazioni di un numero razionale si cerca di prediligere quella in cui i numeri che compaiono al numeratore e denominatore sono i più piccoli possibile. Grazie alla proprietà invariantiva della divisione, sappiamo che una divisione non cambia se dividiamo dividendo e divisore per lo stesso numero.
Ricordando che la frazione non è altro che un modo alternativo per indicare una divisione tra numeri interi questo si traduce nel fatto che se dividiamo numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero, quello che viene fuori è un’altra frazione equivalente a quella di partenza.

I numeri per cui possiamo dividere devono essere divisori comuni del numeratore e del denominatore. Tra tutti i possibili divisori comuni ci conviene dividere per il più grande di questi divisori in modo da ottenere, nella frazione finale, i numeri più piccoli possibili.

Bisogna cioè dividere numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore.

La frazione finale così ottenuta viene detta frazione ridotta ai minimi termini. Effettivamente una frazione ridotta ai minimi termini non può essere ridotta ulteriormente dividendo numeratore e denominatore per uno stesso divisore comune.

Esempio
Riduciamo ai minimi termini la frazione $ \frac{20}{60} $ . Ricordiamo che per trovare M.C.D(20,60) bisogna una volta scomposti in fattori primi i due numeri, moltiplicare i fattori che compaiono in entrambe le scomposizioni elevati alla potenza più piccola con cui appaiono:

$$ 20 = 2^{2} \times 5 $$

$$ 60 = 2^{2} \times 3 \times 5 $$

$$ M.C.D(20,60) = 2^{2} \times 5 = 20.$$

Finalmente se dividiamo numeratore e denominatore per $20$ otteniamo la frazione equivalente ridotta ai minimi termini: $ \frac{1}{3} $.

Nelle prossime lezioni parleremo invece di confronto tra frazioni e cercheremo di trovare dei metodi per confrontare $ 2 $ frazioni al fine di individuarne la più grande.