Dopo aver rivisto, nella scorsa lezione, cosa sono le frazioni, vediamo in questa lezione in maniera più dettagliata, qualcosa di cui abbiamo parlato già nelle lezioni precedenti: l’equivalenza tra frazioni e la loro riduzione ai minimi termini.

Già quando abbiamo parlato di frazioni e numeri razionali abbiamo visto che lo stesso numero razionale poteva essere espresso in termini di due frazioni differenti

Esempio

$$ 0,5 = \frac{1}2 = 1 : 2 $$

D’altro canto

$$ 0,5 = \frac{2}4 = 2 : 4 $$

e in realtà, per la proprietà invariantiva della divisione, c’è un’infinità di modi in cui possiamo rappresentare questo numero infatti qualunque sia $ \ n$ un numero naturale abbiamo:

$$ 0,5 = \frac{n}{2 \times n} = n : ( 2 \times n) $$

tutte queste frazioni sono infatti equivalenti.

In altri termini, se dividiamo una pizza in due parti e poi ne prendiamo una, o se dividiamo una pizza in 4 parti e ne prendiamo 2, o ancora più in generale se la dividiamo in $ 2 \times n $ parti e ne prendiamo $ \ n $, alla fine sempre la stessa quantità di pizza mangiamo!

Due frazioni equivalenti rappresentano lo stesso numero razionale, in questo senso, nell’ambito dei numeri razionali, due frazioni equivalenti sono “uguali”.

Come capire se due frazioni sono equivalenti

Un metodo per capire se due frazioni sono equivalenti è sicuramente quello di fare la divisione tra numeratore e denominatore e controllare che venga lo stesso numero decimale.

Un metodo alternativo è il seguente: supponiamo di avere due frazioni

$$\frac{a_1}{b_1}, \qquad \frac{a_2}{b_2},$$

queste risulteranno equivalenti se e solo se

$$ a_1 \times b_2 = a_2 \times b_1$$

Esempio
Mostriamo che $\frac{1}2 $ = $ \frac2{4}. \qquad $
Infatti si ha che

$$ 1 \times 4 = 2 \times 2 .$$

Allo stesso modo mostriamo che $ \frac{20}{60} = \frac{1}3 :$

$$ 20 \times 43= 1 \times 60 .$$

Frazione ridotta ai minimi termini

Tra tutte le possibili infinite rappresentazioni di un numero razionale si cerca di prediligere quella in cui i numeri che compaiono al numeratore e denominatore sono i più piccoli possibile. Grazie alla proprietà invariantiva della divisione, sappiamo che una divisione non cambia se dividiamo dividendo e divisore per lo stesso numero. Ricordiamo che la frazione non è altro che un modo alternativo per indicare una divisione tra numeri interi.

Riassumendo se dividiamo numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero quello che viene fuori è un’altra frazione equivalente a quella di partenza.

I numeri per cui possiamo dividere devono essere divisori comuni del numeratore e del denominatore. Tra tutti i possibili divisori comuni ci conviene dividere per il più grande di questi divisori in modo da ottenere, nella frazione finale, i numeri più piccoli possibile.

La frazione finale così ottenuta viene detta frazione ridotta ai minimi termini.
Effettivamente una frazione ridotta ai minimi termini non può essere ridotta ulteriormente dividendo numeratore e denominatore per uno stesso divisore comune.

Esempio
Riduciamo ai minimi termini la frazione $ \frac{20}{60} $ . Ricordiamo che per trovare M.C.D(20,60) bisogna una volta scomposti in fattori primi i due numeri, moltiplicare i fattori che compaiono in entrambe le scomposizioni elevati alla potenza più piccola con cui appaiono:

$$ 20 = 2^2 \times 5 $$

$$ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 $$

$$ M.C.D(20,60) = 2^2 \times 5 = 20.$$

Finalmente se dividiamo numeratore e denominatore per 20 otteniamo la frazione equivalente ridotta ai minimi termini: $\frac1{3} $.