In questa lezione parliamo di un argomento molto pratico: le percentuali. Vedremo cosa sono e come calcolare una percentuale.
Oltre che in Matematica, sentiamo spesso parlare di percentuali. Ad esempio alcune frasi di uso comune possono essere:

“Il 30% delle persone sono biondi”
e si legge
“Il 30 percento delle persone è bionda”,

“Questo vestito è scontato al 40%”
e si legge
“Questo vestito è scontato al 40 percento”

Vediamo di capire come calcolare le percentuali di una data quantità.

Definizione di percentuale

La percentuale è un modo diverso per scrivere una frazione con denominatore pari a 100.

Esempio

$$ 30 \% = \frac{30}{100}, \qquad 40\% = \frac{30}{100}, \qquad 6\% = \frac{6}{100} $$

In effetti quando diciamo ad esempio

$$ 30\% $$


Non stiamo dicendo altro che stiamo considerando 30 parti di 100 che è proprio la spiegazione cha abbiamo dato al concetto di frazione.

In generale possiamo dire che

$$ x\% = \frac{x}{100} $$


dove con $x$ intendiamo un qualunque numero decimale.

Calcolo di una percentuale di una quantità

Nelle lezioni sulle frazioni abbiamo visto come calcolare la frazione di una certa quantità fosse molto semplice.
Per calcolare una frazione di una data quantità è sufficiente dividere la quantità per il denominatore della frazione e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione.

Ad esempio, per calcolare $ \frac{2}{4} di 16 $, basta dividere 16 per 4 e poi moltiplicare per 2, ottenendo come risultato 8.

Allo stesso modo si fa con una percentuale dato che la consideriamo esattamente come una frazione.

Esempio
- Supponiamo di essere in una classe di 20 persone. Il 30% della classe è alto 1,50m.
Vorremo sapere quante persone sono alte 1,50m. Sono il 30 % di 20.

In altre parole ,

$$ \frac{30}{100} \quad \mbox{di} \quad 20 $$


ottenendo come risultato 6 persone.

Un altro esempio classico è legato agli sconti. Entriamo in un negozio e troviamo l’abito che volevamo comprare, con uno sconto del 40%. Supponiamo che inizialmente il nostro vestito costasse 200€. Quanto lo pagheremmo scontato?

Procediamo esattamente come prima: Calcoliamo il 40% di 200. Facendo i conti come prima otteniamo il valore 80.
Bisogna però stare attenti: 80€ non è il prezzo che paghiamo per il vestito ma è solo lo sconto. Il prezzo da pagare si ottiene dal prezzo iniziale meno lo sconto:

$$200-80 = 120$$

Osservazione
Il 50% significa 50 parti su 100 cioè rappresenta metà del tutto. In effetti
come percentuale 50% rappresenta la frazione $ \frac{50}{100} $ che è equivalente alla frazione $ \frac{1}{2} $.
A questo punto una percentuale con un numero più grande di 50 rappresenterà una parte del tutto, maggiore della metà mentre una percentuale con un numero minore di 50 rappresenta una parte dell’intera quantità che è minore di metà della quantità stessa.

Dalla frazione alla percentuale

Se abbiamo una frazione con 100 come denominatore, sappiamo che questa rappresenta la percentuale $x \% $ dove $x$ è il numeratore della frazione.

Vediamo invece come passare dalla frazione al numero percentuale in generale. L’idea è molto semplice: dobbiamo scrivere una frazione equivalente a quella di partenza che abbia 100 come denominatore; a quel punto sappiamo come andare avanti.

Come trasformare una frazione in una equivalente con denominatore scelto è stato visto più volte nel dettaglio nelle lezioni sulle frazioni.
Un metodo alternativo è il seguente con l’uso delle proporzioni:
Supponiamo di avere la frazione

$$ \frac{a}{b} $$

e di volerla scrivere come percentuale. Questa sarà la percentuale $ x\%$ dove $x$ risolve la seguente proporzione.

$$ a:b = x:100 $$


Che abbiamo visto come risolvere nella lezione sulle proporzioni con un’incognita.