Spesso ci troviamo nella situazione in cui abbiamo due incognite legate da una proporzione di cui vogliamo conoscere il valore, in questa lezione, vediamo, usando le proprietà delle proporzioni, la soluzione di alcuni problemi per imparare come fare.
Problema 1
Supponiamo di avere 2 incognite \(x\) e \(y\) e supponiamo di sapere che la loro differenza \(x-y= 6\) e che stanno in proporzione nel modo seguente
$$ x : 7 = y : 4 $$
Prima di applicare la proprietà dello scomporre applichiamo la proprietà del permutare i medi, così la proporzione iniziale diventa
$$ x: y = 7 : 4 $$
E se applichiamo la proprietà dello scomporre otteniamo
$$ x-y : y = 7-4 : 4 $$
$$ 6: y = 3:4 $$
A questo punto è facile utilizzando la proprietà fondamentale, ricavare il valore di \( y \)
Infatti
$$ 3 \times y = 6 \times 4 $$
da cui, dividendo per 3 entrambi i membri otteniamo \( y=8 \)
A questo punto per ricavate il valore della \( x \) possiamo procedere in 2 modi
Usare il fatto che \(x-y=6\) da cui \( x=6 +y = 6 +8 = 14 \)
Usare \( y : x = 4 : 7\) da cui, conoscendo il valore di \( y \)
$$ x : y = 7: 4 $$
Da cui ancora usando la proprietà fondamentale, esattamente come fatto per trovare il valore di \( y\) si ottiene lo stesso risultato: \( x= 14 \)Problema 2
Supponiamo di avere 2 incognite \( x\) e \( y\) e supponiamo di sapere che la loro differenza \( x-y= 6\) e che stanno in proporzione nel modo seguente
$$ x: y = 2 : 1 $$
Questa volta possiamo applicare tranquillamente la seconda proprietà dello scomporre ottenendo
$$ (x-y) : y = (2-1) : 1 $$
$$ 6: y = 1:1 $$
A questo punto è facile utilizzando la proprietà fondamentale, ricavare il valore di \( y \)
Infatti
$$ 1 \times y = 6 \times 1$$
da cui, dividendo per 1 entrambi i membri otteniamo y=6
A questo punto per ricavate il valore della \( x \) possiamo procedere in 2 modi
Usare il fatto che \( x-y=6 \) da cui \( x=6 +y = 6 +6 = 12 \)
Usare \( x : y = 2 : 1 \) da cui, conoscendo il valore di \( y \) e usando la proprietà fondamentale, esattamente come fatto per trovare il valore di \( y\), si ottiene lo stesso risultato: \( x= 12 \)
Problema 3
Supponiamo di avere 2 incognite \( x\) e \( y\) e supponiamo, come nell’esempio precedente, di sapere che la loro differenza \( x-y= 6\) ma che in questo caso stanno in proporzione nel modo seguente
$$ y : x = 4 : 7 $$
Vorremmo usare la proprietà dello scomporre, come abbiamo fatto nel caso precedente
$$ y-x : x = 4-7 : 4 $$
ma non conosciamo il valore di \( y-x\) ! Allora, prima di applicare la proprietà dello scomporre applichiamo la proprietà dell’invertire, così la proporzione iniziale diventa
$$ x: y = 7 : 4 $$
E se applichiamo la proprietà dello scomporre otteniamo
$$ x-y : y = 7-4 : 4 $$
$$ 6: y = 3:4 $$
A questo punto è facile utilizzando la proprietà fondamentale, ricavare il valore di $ y \)
Infatti
$$ 3 \times y = 6 \times 4 $$
da cui, dividendo per 3 entrambi i membri otteniamo \(y=8\)
A questo punto per ricavate il valore della \( x \) possiamo procedere in 2 modi
Usare \( y : x = 4 : 7 \) da cui, conoscendo il valore di \( y \)
$$ 8 : x = 4 : 7 $$
Da cui ancora usando la proprietà fondamentale, esattamente come fatto per trovare il valore di \( y\) si ottiene lo stesso risultato: \( x= 14 \)