In questa lezione continuiamo a parlare di proporzioni vedendo in modo dettagliato la proprietà del permutare.
Come abbiamo già detto data una proporzione:
$$ a: b = c : d $$
- i numeri più esterni rispetto all’uguale vengono detti estremi proporzionali,
- i numeri più interni rispetto all’uguale vengono detti medi proporzionali.
- i numeri più a sinistra rispetto al simbolo di divisione vengono detti antecedenti,
- i numeri a destra rispetto al simbolo di divisione vengono detti conseguenti.
Adesso cerchiamo di capire in che modo applicare la proprietà del permutare, argomento principale della nostra trattazione e soprattutto vediamo alcuni esempi per applicarla.
Proprietà del permutare i medi
Partendo da una proporzione del tipo
$$ a: b = c : d $$
La proprietà dell’invertire ci dice che allora abbiamo anche la seguente proporzione
$$ a: c = b : d $$
In altre parole la proprietà del permutare ci dice che se si scambiano tra loro i medi, si ha una proporzione equivalente a quella di partenza.
Proprietà del permutare gli estremi
Partendo da una proporzione del tipo
$$ a: b = c : d $$
La proprietà dell’invertire ci dice che allora abbiamo anche la seguente proporzione
$$ d: b = c : a $$
In altre parole la proprietà del permutare ci dice che se si scambiano tra loro gli estremi, si ha una proporzione equivalente a quella di partenza.
Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:
$$ 2:3 = 10 :15 $$
Per la proprietà del permutare vale anche la seguenti:
$$ 2:10 = 3 :15 $$
$$ 15:3 = 10 : 2 $$
Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:
$$ 8:4 = 10 :5 $$
Per la proprietà del permutare vale anche la seguente:
$$ 8:10 = 4 :10 $$
$$ 5:4 = 10 :8 $$
Esempio
Supponiamo di avere 2 incognite $x$ e $y$ e supponiamo di sapere che la loro differenza $x-y= 6$ e che stanno in proporzione nel modo seguente
$$ x : 7 = y : 4 $$
Prima di applicare la proprietà dello scomporre applichiamo la proprietà del permutare i medi, così la proporzione iniziale diventa
$$ x: y = 7 : 4 $$
E se applichiamo la proprietà dello scomporre otteniamo
$$ x-y : y = 7-4 : 4 $$
$$ 6: y = 3:4 $$
A questo punto è facile utilizzando la proprietà fondamentale, ricavare il valore di $ y $
Infatti
$$ 3 \times y = 6 \times 4 $$
da cui, dividendo per 3 entrambi i membri otteniamo y=8
A questo punto per ricavate il valore della $ x $ possiamo procedere in 2 modi
Usare il fatto che $ x-y=6 $ da cui $ x=6 +y = 6 +8 = 14 $
Usare $ y : x = 4 : 7 $ da cui, conoscendo il valore di $ y $
$$ x : y = 7: 4 $$
Da cui ancora usando la proprietà fondamentale, esattamente come fatto per trovare il valore di $y$ si ottiene lo stesso risultato: $ x= 14 $Anche in questo caso, come nel caso della proprietà dell’invertire, la proprietà del permutare delle proporzioni assume più forza combinata con altre proprietà che analizzeremo nel dettaglio nelle prossime lezioni.