Negli articoli precedenti abbiamo visto che cos’è un monomio, dando anche le definizioni di grado di un monomio, addizione, differenza, moltiplicazione, divisione e potenza a lui associati. Oggi svolgiamo insieme alcuni esercizi ricorrenti sui monomi, usando la teoria fatta fino a ora.
Esercizio 1
Ridurre in forma normale il seguente monomio e dire poi qual è il grado rispetto a ogni lettera e il grado complessivo
$$ –xy \frac{2}{3} x^4 \frac{5}{4} y^2$$
Svolgimento:
Per ridurre il monomio in forma normale dobbiamo fare le moltiplicazioni
$$–xy \cdot \frac{2}{3} x^4 \cdot \frac{5}{4} y^2$$
Il coefficiente numerico del monomio, scritto in forma normale, è dato dalla moltiplicazione dei coefficienti numerici:
$$-1\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4}=-\frac{5}{6}$$
e la parte letterale è data dalle lettere \(x\) e \(y\) con esponenti uguali a:
- \(1+4\) per la lettera \(x\);
- \(1+2\) per la lettera \(y\);
possiamo concludere dicendo che il monomio scritto in forma normale è uguale a
$$-\frac{5}{6} x^5y^3$$
Osserviamo che facendo questi calcoli abbiamo verificato che l’espressione algebrica è effettivamente un monomio.
Per quanto riguarda il grado dai calcoli abbiamo direttamente che il grado rispettivo alla lettera \(x\) è uguale a \(5\) e il grado rispettivo alla lettera \(y\) è uguale a \(3\). Il grado complessivo è uguale alla somma degli esponenti di tutte le lettere del monomio: \(5+3=8\)
Esercizio 2
Dire se le seguenti espressioni sono monomi o polinomi:
$$i)\quad 2aba+a^2b-3aab$$
$$ii)\quad \frac{1}{2}xyx+xy$$
Svolgimento:
In generale, per verificare se un espressione algebrica è un monomio o un polinomio, bisogna ridurre l’espressione data in forma normale. Se l’espressione si riduce a un coefficiente numerico e a una parte letterale allora sarà un monomio, altrimenti sarà un polinomio. Ora svolgiamo i calcoli per le due espressioni:
i)
$$2aba+a^2b-aab$$
Svolgendo le moltiplicazioni per le parti letterali avremo la seguente espressione
$$2a^2b+a^2b-a^2b$$
Ora, poiché i tre monomi sono simili, possiamo procedere a fare la somma tra monomi che ci da come risultato
$$2a^2b$$
Ci siamo ricavati la forma normale! L’espressione algebrica si è ridotta a un coefficiente numerico ed a una parte letterale… si tratta quindi di un monomio.
ii)
$$\frac{1}{2}xyx+xy$$
Svolgiamo, come prima, le moltiplicazioni delle parti letterali
$$\frac{1}{2}x^2y+xy$$
Questa volta i monomi non sono simili e non possiamo fare la somma tra monomi: non possiamo ridurre di più l’espressione, siamo arrivati, quindi, alla forma normale. L’espressione è somma di due monomi distinti, si tratta allora di un polinomio.
Esercizio 3
Trovare M.C.D. e m.c.m. dei seguenti monomi:
$$40x^5 2 y^3;\quad 20xy^2z;\quad 12x^2yz^2$$
Svolgimento:
Per trovare M.C.D. e m.c.m. di questi monomi dobbiamo calcolare separatamente M.C.D. e m.c.m. del coefficiente numerico e M.C.D. e m.c.m. della parte letterale. Per quanto riguarda il coefficiente numerico abbiamo:
$$M.C.D.(40,20,12)=4\quad m.c.m.(40,20,12)=120$$
tramite le solite regole di M.C.D e m.c.m. tra due numeri. Per calcolare l’M.C.D. della parte letterale dobbiamo prendere gli esponenti di indice più basso di \(x\), \(y\) e \(z\):
- Per la \(x\) i relativi esponenti sono \(5\), \(1\) e \(2\).
- Per la \(y\) i relativi esponenti sono \(3\), \(2\) e \(1\).
- Per la \(x\) i relativi esponenti sono \(0\), \(1\) e \(2\).
Prendendo gli indici più bassi avremo in definitiva
$$M.C.D.(40 x^5 2 y^3,20 xy^2z,12 x^2yz^2)=4xy$$
Per l’m.c.m., invece, dobbiamo prendere gli indici di esponente più alto. In definitiva
$$m.c.m.(40 x^5 2 y^3,20 xy^2z,12 x^2yz^2)=120x^5y^3z^2$$
Esercizio 4
Svolgere la seguente espressione tra monomi:
$$\frac{20}{4}a+(-4ay)^2 : 4ay^2 + a^4 : \biggl(-\frac{1}{3}a\biggl)^3 + \frac{3}{25} a^3y^2 : (\frac{1}{5}ay)^2 – 10a$$
Svolgimento:
Siamo di fronte ad un espressione algebrica fatta da monomi: bisogna rispettare le stesse regole di calcolo delle espressioni algebriche! Siccome non vi sono operazioni tra le parentesi bisogna prima procedere con l’elevamento a potenza dei monomi:
$$\frac{20}{4}a+(+16a^2y^2) : 4ay^2 + a^4 : \biggl(-\frac{1}{27}a^3\biggl) + \frac{3}{25} a^3y^2 : (\frac{1}{25}a^2y^2) – 10a$$
Procediamo con le divisioni dei monomi adesso
$$\frac{20}{4}a+4a - 27a + 3 a – 10a$$
Facendo l’m.c.m. per risolvere l’espressione frazionaria avremo
$$\frac{20a+16a - 108a + 12 a – 40a}{4}$$
Poichè i monomi al numeratore sono simili, possiamo fare la somma e la differenza di monomi
$$\frac{- 100a}{4}$$
che, facendo la divisione tra i coefficienti numerici, è equivalente a
$$-25a$$