Continuiamo ad approfondire l’argomento piano cartesiano e scopriamo oggi come si trova il punto medio di un segmento. Nella scorsa lezione abbiamo visto cosa si intende per piano cartesiano e per coordinate di un punto; in questa lezione possiamo cominciare a dare una caratterizzazione algebrica di fenomeni geometrici come il punto medio di un segmento.
L’oggetto geometrico più semplice che possiamo definire a questo punto è un segmento nel piano.
Un segmento può essere descritto a partire da due punti nel piano.
Supponiamo che I punto iniziale del segmento sia P e il punto finale sia il punto Q.
Il segmento PQ non è altro che la porzione della (unica) retta passante per P e per Q tra P e Q stessi.
Punto medio di un segmento
Il punto medio di un segmento è il punto sul segmento che si trova a metà strada tra P e Q. Detto in maniera leggermente più rigorosa il punto medio di un segmento è quel punto sul segmento tale che la sua distanza da P è uguale alla sua distanza da Q.
Della distanza fra due punti parleremo nel dettaglio nella prossima lezione. In questa lezione ci chiediamo se, note le coordinate del punto P e note le coordinate del punto Q sia possibile caratterizzare in maniera algebrica le coordinate del punto medio M del segmento PQ.
La risposta è affermativa: il punto medio avrà come coordinata x la media delle coordinate x dei punti P e Q e come coordinata y la media delle coordinate y dei punti P e Q.
Formalmente, dati:
$$ P =(x_P, y_P) \qquad \qquad Q = (x_Q, y_Q) $$
il punto medio M del segmento PQ, avrà coordinate
$$ M = (x_M, y_M) $$
dove
$$ x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} $$
$$ y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} $$
Facciamo degli esempi. Supponiamo di avere il segmento PQ con \( P=(1,3) \) e \( Q=(3, 5) \)
il punto medio \( M = (x_M, y_M) \) avrà coordinate
$$ x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{1+ 3}{2} = 2 $$
$$ y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 $$
Prova a disegnare I 3 punti (P,Q,M) sul piano cartesiano per visualizzare il risultato.
$$ M = (2,4) $$
Esempio
Prendiamo ora un segmento parallelo all’asse delle ascisse. Questo significa che il punto iniziale e il punto finale del segmento hanno la stessa altezza, in altre parole hanno la stessa coordinata y.
Chiaramente anche il punto medio trovandosi sul segmento, avrà la stessa altezza dei due punti estremi del segmento. E avrà la coordinata x la media tra le coordinate x dei due punti iniziali.
Supponiamo di avere il segmento PQ con \( P=(1,3) \) e \( Q=(3, 3) \)
il punto medio \( M = (x_M, y_M) \) avrà coordinate
$$ x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{1+ 1}{2} = 2 $$
$$ y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{3 + 3}{2} = 3 $$
Prova a disegnare I 3 punti (P,Q,M) sul piano cartesiano per visualizzare il risultato.
$$ M = (2,3) $$
Nella prossima lezione vedremo come calcolare algebricamente la distanza tra due punti sul piano cartesiano utilizzando il teorema di Pitagora.