Nelle scorse lezioni abbiamo parlato di nuove operazioni: la radice quadrata e la radice cubica e abbiamo visto insieme quali sono le proprietà di cui gode l’operazione di radice. In questa lezione vedremo ancora qualche altra proprietà che ci permetterà di moltiplicare tra loro radici con indici diversi.

Cominciamo richiamando alcune delle proprietà già viste che verranno usate più tardi.

Prodotto e il rapporto di radicali con lo stesso indice

Il prodotto di due radici con lo stesso indice è una radice con lo stesso indice che ha come radicando, il prodotto dei radicandi delle due radici di partenza:

$$ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} $$

Il rapporto di due radici con lo stesso indice è una radice con lo stesso indice che ha come radicando, il rapporto dei radicandi delle due radici di partenza:

$$ \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} $$

Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
Per il passaggio di un fattore fuori dal segno di radice abbiamo la seguente formula:

$$ \sqrt[n]{a^{nq} \times b} = a^{q} \times \sqrt[n]{ b} $$

Potenza di radice e radice di radice
Valgono le seguenti due formule:

$$ \sqrt{a}^m = \sqrt{a^m} $$


$$ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \times n]{a} $$

Osservazione
Per finire possiamo osservare che la radice si comporta come fosse una particolare operazione di elevamento a potenza dove l’indice di potenza è una frazione.

In formule abbiamo:

$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$

Quest’ultima relazione semplifica molto il lavoro con le radici che diventano a tutte gli effetti potenze con tutte le loro proprietà.

Radici equivalenti
Utilizzando l’ultima uguaglianza possiamo introdurre il concetto di radici equivalenti a partire da quello di frazioni equivalenti.

Supponiamo di avere due frazioni eqivalenti

$$ \frac{m}{n} \qquad \frac{s}{t} $$

Si avrà che

$$ a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{s}{t}} $$

da cui

$$ \sqrt[n]{a^m}= \sqrt[t]{a^{s}} $$

In sostanza, più semplicemente, quello che stiamo dicendo è che se moltiplichiamo per lo stesso numero indice della radice e esponente del radicando, il valore della frazione non cambia.

Questa proprietà di equivalenza tra radici ci permetterò di moltiplicare/dividere tra loro radici di indice diverso.

Moltiplicazione/divisione tra radici di indice diverso
L’idea è quella di trasformare le radici in due radici equivalenti alle iniziali ma aventi lo stesso indice. A questo punto sappiamo come fare la moltiplicazione/divisione utilizzando la proprietà ricordata all’inizio di questa lezione sul prodotto di radici con lo stesso indice.

Quale usiamo come indice in comune tra le due radici? Il minimo comune multiplo degli indici. Vediamo in che modo.

Esempio
Supponiamo di voler moltiplicare queste due radici

$$\sqrt[3]{7} \qquad \sqrt[2]{5} $$


Il minimo comune multiplo tra gli indici è

$$ mcm (3,2) = 6 $$


Dobbiamo trasformare le due radici iniziali in due radici equivalenti che abbiano entrambe indice $n=6.$

Per ottenere 6 dobbiamo moltiplicare l’indice della prima frazione per 2. Per far rimanere la radice equivalente dobbiamo anche elevare il radicando per il suo esponente moltiplicato per 2.

$$\sqrt[3 ]{7} = \sqrt[3 ]{7^1} = \sqrt[3 \times 2]{7^ {1 \times 2}} = \sqrt[6]{7^2} = \sqrt[6]{ 49 }$$

Facciamo la stessa cosa per la seconda radice, questa volta dovremmo moltiplicare per 3.

$$\sqrt[2 ]{5} = \sqrt[2 ]{5^1} = \sqrt[2 \times 3]{5^ {1 \times 3}} = \sqrt[6]{5^3} = \sqrt[6]{ 125 }$$


A questo punto il profotto cercato ha lo stesso valore di

$$ \sqrt[6]{ 49 } \times \sqrt[6]{ 125 } = \sqrt[6]{ 125 \times 49 } = \sqrt[6]{ 6125} $$

L’ultima radice può essere semplificata utilizzando la proprietà di trasporto di un fattore fuori dal segno di radice che abbiamo richiamato all’inizio di questa lezione e trattato ampiamente nelle passate lezioni con esempi.

Il lettore più attento si ricorderà che l’idea che abbiamo usato per moltiplicare due radici con indice diverso è esattamente la stessa che abbiamo usato quando cercavamo di sommare/sottrarre frazioni con denominatore diverso, trasformandole in frazioni equivalenti che avessero lo stesso denominatore.

Questo non è un caso per via della seguente formula

$$ \sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} $$


che mette proprio in relazione le frazioni e le potenze con le radici.