In questa lezione continuiamo a parlare di proporzioni vedendone le prime proprietà. Per chi l’avesse dimenticata ripetiamo la definizione di proporzione che può essere considerata come una relazione che coinvolge quattro grandezze $a,b,c,d.$
Una proporzione appare solitamente nella seguente forma:
$$ a: b = c : d $$
e si legge “ $ \ a $ sta a $ \ b $ come $ \ c $ sta a $ \ d $ ”
Il rapporto tra le quantità $ \ a $ e $ \ b $ è lo stesso che c’è tra le quantità $ \ c $ e $ \ d $ .
Le proporzioni servono proprio a mettere in relazione quantità che stanno in rapporto costante le une con le altre. Vi ricordiamo inoltre che data la proporzione
$$ a: b = c : d $$
i numeri più esterni rispetto all’uguale si chiamano estremi proporzionali, mentre i più interni rispetto medi proporzionali.Cioèi estremi proporzionali sono $ \ a$ e $ \ d $ e i medi proporzionali sono $ \ b $ e $ \ c $.
Alcune volte. quando è chiaro che si stia parlando di una proporzione, i termini vengono detti semplicemente estremi e medi della proporzione.
Proprietà delle proporzioni
Ora che abbiamo chiara la definizione di proporzione andiamo a vedere in che modo si risolve e soprattutto quali sono le proprietà che regolano questa operazione.
Proprietà fondamentale
Nella scorsa lezione abbiamo osservato che le quantità che compaiono in una proporzione a destra e sinistra del simbolo di uguale non sono altro che numeratori e denominatori di frazioni che sono equivalenti.
$$ a: b = c : d \qquad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$
Nella lezione sulle frazioni equivalenti abbiamo visto come capire quando due frazioni fossero o meno equivalenti, deve valere:
$$ a \times d = b \times c $$
Quest’ultima è proprio quella che viene chiamata proprietà fondamentali delle proporzioni.
In altre parole si ha che in una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Vediamo più velocemente tutte le altre proprietà di cui godono le proporzioni, altre uguaglianze che si ottengono sempre partendo dalla proporzione scritta nella seguente forma:
$$ a : b = c : d $$
Proprietà dell’invertire
$$ b: a = d : c $$
Proprietà del permutare i medi
$$ a : c = b : d $$
Proprietà del permutare gli estremi
$$ d : b = c : a $$
Proprietà del comporre
$$ (a+b) : b = (c+d) : d$$
$$ (a+b) : a = (c+d) : c$$
Proprietà dello scomporre
$$ (a- b) : b = (c-d) : d$$
$$ (a-b) : a = (c-d) : c$$
Proprietà del comporre e permutare
$$ (a+b) : (a - b) = (c+d):(c-d) $$
Mettendo insieme queste proprietà se ne possono anche trovare altre. Come esercizio si può provare a verificare che valgono queste proprietà applicate a una proporzione come la seguente:
$$ 6 : 3 = 10 : 5 $$
Nelle prossima lezione vedremo come si possano usare queste proprietà appena viste per risolvere problemi pratici.