In questa lezione (e nelle prossima) parliamo di quei problemi in cui è richiesto scoprire il valore di un’incognita attraverso la conoscenza di tre valori, le nozioni di grandezze direttamente e inversamente proporzionali.
I problemi del tre semplice si dividono in:
- Problemi del tre semplice diretto ( argomento della scorsa lezione);
- Problemi del tre semplice inverso (argomento trattato in questa lezioni);
- Problemi del tre composto (argomento trattato nella prossima lezione).
Problema dei tre semplice inverso
Vediamo come risolvere i problemi del tre semplice inverso partendo da un esempio:
Esempio
"Per fare un regalo 4 amici spendono 15,00 € a testa. Quanto avrebbero speso (x) se fossero stati in 6?"
A questo punto dobbiamo operare nel seguente modo:
Chiederci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali;
Impostare la proporzione per risolvere il problema.
Nel nostro esempio ci chiediamo:
All’aumentare del numero di amici, rimanendo fisso il prezzo del regalo, la spesa a testa aumenta o diminuisce?
Certamente diminuisce, quindi le grandezze sono inversamente proporzionali e allora la nostra incognita e il numero ad esso corrispondente (6) avranno una diversa posizione nella proporzione: saranno o una a destra del simbolo di divisione e uno a sinistra o una a sinistra del simbolo di divisione e uno a destra
Nel nostro caso la proporzione risultante sarà:
$$ 15: x = 6 : 4 $$
Risolvendo poi la proporzione, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, risulta che
$$ 6 \times x = 15 \times 4 $$
$$ 6 \times x = 60 $$
infine dividendo per 6 entrambi i membri abbiamo che:
$$ x = \frac{60}{6} = 10 $$
Dunque il gruppo di amici per fare il regalo spendono 15 € a testa se sono in 4 oppure spendono 10 € a testa se a fare il regalo sono in 6.
Vediamo ora un altro esempio di problema del tre semplice diretto:
Esempio
"In una mensa universitaria vengono utilizzati 150 kg di carne per 100 studenti ogni 30 giorni; se in un certo mese vengono serviti 185 studenti quanti giorni dureranno le provviste"
A questo punto dobbiamo operare nel seguente modo:
Chiederci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali;
Impostare la proporzione per risolvere il problema.
Nel nostro esempio ci chiediamo:
All’aumentare del numero di studenti, rimanendo fissi i kg di provviste , le provviste dureranno più giorni?
Certamente no, quindi le grandezze sono inversamente proporzionali e allora la nostra incognita e il numero ad esso corrispondente (185) avranno una diversa posizione nella proporzione: saranno o una a destra del simbolo di divisione e uno a sinistra o una a sinistra del simbolo di divisione e uno a destra
Nel nostro caso la proporzione risultante sarà:
$$ 150: x = 185 : 30 $$
Risolvendo poi la proporzione, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, risulta che
$$ 185 \times x = 150 \times 30 $$
$$ 185 \times x = 4500 $$
infine dividendo per 185 entrambi i membri abbiamo che:
$$ x = \frac{4500}{185} = 24.32 $$
Dunque le stesse provviste per 185 studenti saranno sufficiente per 24.32 giorni.