Prima di parlare dell’energia potenziale elettrica soffermiamoci a descrivere brevemente la forza elettrica e le sue proprietà. Sappiamo che essa è una forza conservativa, perciò il lavoro compiuto dalla forza per spostare una carica dal un certo punto \(A\) ad un punto \(B\) non dipende dal percorso seguito ovvero dalla curva che collega i punti \(A\) e \(B\). Un’altra conseguenza importante delle forze conservative è che possiamo definire sempre una grandezza scalare detta energia potenziale. Di conseguenza per la forza elettrica è possibile definire un’energia potenziale elettrica. L’energia potenziale elettrica è molto collegata al lavoro compiuto dalla forza elettrica, infatti, poiché siamo nel caso di una forza conservativa, quest’ultimo si può esprimere sotto forma di energia potenziale. Ritornando al caso del lavoro compiuto per spostare una carica dal punto \(A\) ad un punto \(B\), avremo di fatto che

$$L_{A\to B}=-\Delta U $$


Con \(L_{A\to B}\) indichiamo il lavoro compiuto dalla forza e con \(\Delta U \) la differenza di energia potenziale tra i due punti.
Diamo ora una definizione di questa energia usando le proprietà enunciate e considerando il caso di due cariche elettriche.
Sia \(Q\) una carica fissata che genera un certo campo elettrico \(\overline{E}\). Poniamo una carica \(q\) nel campo elettrico introdotto . Se le cariche hanno lo stesso segno (entrambe positive o negative) avremo che la forza che agisce su \(q\) è una forza repulsiva, altrimenti se hanno segno opposto la forza che agisce su \(q\) è attrattiva. In generale, l’equazione della forza sulla carica \(q\) è uguale a

$$\overline{F}=q\overline{E}$$


Ora supponiamo di voler calcolare il lavoro fatto dalla carica \(q\) da un punto \(A\) a un punto \(B\), avremo, considerando costante la forza e lo spostamento da un punto all’altro rettilineo, che il lavoro sarà uguale al prodotto scalare tra \(\overline{F}\) e lo spostamento \(\overline{s}\) di \(q\) da \(A\) a \(B\)

$$L_{A\to B}=\overline{F}\cdot \overline{s}=F\cdot s\cdot cos \theta$$


dove con \(F\) indico il modulo della forza, con \(s\) il modulo dello spostamento e \(\theta\) varia a seconda del verso reciproco dei vettori forza e spostamento. Se consideriamo il caso in cui la forza è positiva e ha la stessa direzione dello spostamento (ci stiamo ponendo nel caso più semplice possibile!!) abbiamo che

$$\theta=0$$


Il lavoro diventa semplicemente il prodotto aritmetico tra il modulo della forza e il modulo dello spostamento

$$ L_{A\to B}=F\cdot s$$


E di conseguenza il lavoro sarà uguale a

$$L_{A\to B}=F\cdot s=\frac{qQ}{4 \pi \epsilon_0 s^2}\cdot s=\frac{qQ}{4 \pi \epsilon_0 s} $$


dove \(\epsilon_0\) è la costante dielettrica del vuoto. Notiamo che siamo passati da due quantità vettoriali, il campo elettrico \(\overline{E}\) e lo spostamento \(\overline{ s }\), a una quantità numerica ottenuta grazie al prodotto scalare. Ci siamo posti in un caso molto semplice e si può definire in altri modi molto più elaborati e eleganti di questo!
Ora abbiamo ottenuto una formula per la differenza di energia potenziale che

$$ L_{A\to B}=-\Delta U =\frac{qQ}{4 \pi \epsilon_0 s}$$


Per ogni spostamento \(s\) con queste condizioni.
Per trovare l’energia potenziale elettrica basta “portare all’infinito” la carica \(q\), ovvero spostare il punto \(B\) all’infinito. Poiché per definizione poniamo l’energia potenziale uguale a \(0\) all’infinito e la differenza di potenziale è uguale a

$$-\Delta U=U_{iniziale}-U_{finale}=U_A-U_B\quad con\>U_B=0$$


Possiamo concludere che l’energia potenziale per ogni punto a distanza \(r\) dalla carica generatrice \(Q\) è della forma

$$U(r)= \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_0 r}$$


che è il lavoro per portare una carica \(q\) da una certa posizione a distanza \(r\) da \(Q\) all’infinito.
Questa grandezza si misura in Joule \([J]\) e può assumere anche valori negativi.