Come per il campo elettrico, per il campo magnetico è possibile definire il flusso del campo magnetico attraverso una certa superficie \(S\). Se la superficie che prendiamo in considerazione è piana abbiamo che il vettore normale alla superficie resta fisso, cioè verso e direzione restano fisse lungo tutta la superficie, e possiamo facilmente definire il flusso con il prodotto scalare tra il vettore campo magnetico \(\vec{B}\) e il vettore normale alla superficie \(\vec{S}\). Denotando con \(\Phi(\vec{B})\) il flusso del campo magnetico abbiamo allora
$$\Phi(\vec{B})=\vec{B} \cdot \vec{S} $$
Tramite le proprietà del prodotto scalare riscriviamo la formula come
$$\Phi(\vec{B})=\vec{B} \cdot \vec{S}= BS\cos \alpha $$
dove \(\alpha\) è l’angolo compreso tra i vettori \(\vec{B}\) e \(\vec{S}\), \(B\) il modulo del campo magnetico e \(S\) il modulo del vettore normale.
Possiamo dire che se il campo magnetico è parallelo al vettore normale alla superficie abbiamo che il flusso è massimo attraverso la superficie. Mentre se il campo magnetico è perpendicolare al vettore normale alla superficie, il flusso è nullo attraverso la superficie.
Se la superficie che prendiamo in considerazione è più irregolare, quindi non è piana, il vettore normale alla superficie cambia in base a dove ci troviamo lungo di essa, perciò non vale più la relazione precedente. Come facciamo in questo caso?
Data \(S\) una superficie qualsiasi, si suddivide la superficie in \(n\) parti in modo tale che ciascuna parte è piana, perciò il vettore normale in ciascuna di esse è fisso come prima. S’individua, per ogni parte, il vettore normale \(\Delta \vec{S}_i\) e di conseguenza il flusso tramite la relazione vista nel caso della superficie piana
$$\Phi_i(\vec{B})=\vec{B} \cdot \Delta \vec{ S }_i $$
Il flusso totale per la superficie è uguale alla somma dei flussi delle parti piane considerate. Abbiamo allora
$$\Phi_{Tot}(\vec{B})=\sum_{i=1}^n\Phi_i(\vec{B})= \sum_{i=1}^n \vec{B} \cdot \Delta \vec{ S }_i $$
Nel Sistema Internazionale si misura in Weber, cioè in Tesla (misura del campo magnetico) per metro al quadrato (misura della superficie).
$$[W]=[T]\cdot [m^2]$$
Teorema di Gauss per il flusso del campo magnetico
Dal teorema di Gauss per il campo elettrico sappiamo che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica elettrica totale che si trova all’interno della superficie, perciò si ha che il flusso è nullo se la carica totale è nulla.
Per il campo magnetico, invece, non esistono cariche magnetiche isolate, cioè poli nord separati da poli sud. Quindi la “carica magnetica” totale all’interno della superficie chiusa non può che essere uguale a \(0\), perché in essa i poli nord presenti compensano esattamente i poli sud.
In altri termini le linee di campo del campo magnetico sono linee chiuse oppure linee che si estendono all’infinito, a differenza delle linee del campo elettrico che hanno origine nelle cariche positive e fine nelle cariche negative. Accade, per una superficie chiusa, che ad ogni linea entrante ne corrisponde una uscente e questo è un altro modo di spiegare perché il flusso del campo è nullo attraverso una superficie chiusa.
Abbiamo, quindi, la seguente relazione
$$\Phi_S(\vec{B})=0 $$
dove \(S\) è la superficie chiusa in cui stiamo calcolando il flusso.