La forza di Lorentz è una forza che ci aiuta a capire l’interazione tra una carica elettrica e il campo magnetico, in cui essa è immersa. Sia \(q\) una carica che si muove in un campo magnetico \(\vec{B}\) con velocità istantanea \(\vec{v}\), allora la forza di Lorentz è data dal prodotto vettoriale

$$\vec{F}_L=q\vec{v}\times \vec{B}$$


Essendo definita con un prodotto vettoriale, possiamo facilmente dedurre dalle proprietà di quest’ultimo che:

  • Il modulo della forza sarà uguale a

    $$F_L=qvBsin\alpha$$


    dove con \(v\) e \(B\) indico i moduli della velocità e del campo magnetico rispettivamente e con \(\alpha\) l’angolo formato dai due vettori;
  • La forza di Lorentz è una quantità vettoriale perpendicolare sia al vettore \(\vec{v}\) che al vettore \(\vec{B}\), quindi al piano generato da questi due vettori;
  • Il verso della forza è dato dalla regola della mano destra, conoscendo sia il verso della velocità che del campo magnetico;

Le seconda proprietà enunciata ci dice che la forza è perpendicolare alla velocità della carica elettrica e, quindi, al suo spostamento nello spazio. Poiché il lavoro \(L\) è dato dal prodotto scalare tra la forza e lo spostamento ed il prodotto scalare di due vettori perpendicolari tra loro è uguale a \(0\), abbiamo che il lavoro è nullo per la forza di Lorentz

$$L=0$$


Ora il teorema dell’energia cinetica ci dice che la variazione di energia cinetica della carica, valutata per un certo tempo iniziale ed un certo tempo finale, è uguale al lavoro della forza su di essa nel tempo preso in considerazione:

$$L=\Delta K$$


Siccome, essendo la forza sempre perpendicolare allo spostamento, il lavoro è nullo ne segue che la variazione di energia cinetica è nulla per ogni tempo che prendiamo in considerazione

$$\Delta K=0$$


Poiché la carica non subisce una variazione di energia cinetica possiamo concludere che la sua velocità è costante. Possiamo, quindi, affermare:

La velocità di una carica che si muove in un campo magnetico qualsiasi è costante

La forza di Lorentz non modifica il modulo della velocità della carica, ma la traiettoria di essa nello spazio. Andiamo a vedere di che tipo di traiettoria si tratta esaminando diversi casi.

  • Se \(\vec{v}\) è parallelo a \(\vec{B}\), abbiamo per definizione di prodotto vettoriale che

    $$\vec{F}_L=q\vec{v}\times \vec{B}=0$$


    La carica non risente di nessuna forza, non possiede perciò un’accelerazione e si muoverà, di conseguenza, di moto rettilineo uniforme.
  • Se \(\vec{v}\) è perpendicolare a \(\vec{B}\) possiamo scrivere il modulo della forza come

    $$F_L=qvB$$


    poiché il \(sen\) a \(90°\) assume il valore \(1\). Ora per la seconda legge della dinamica

    $$\vec{F}_L=m\vec{a}_L$$


    Per quanto detto prima la velocità in un campo magnetico è costante e la carica cambia solo traiettoria: un moto che ha queste caratteristiche è il moto circolare uniforme, in cui abbiamo una forza centripeta sempre perpendicolare a una velocità tangenziale. Si può dimostrare in effetti che una particella in un campo magnetico si muove di moto circolare uniforme. Pertanto avremo la seguente relazione

    $$qvB=m\frac{v^2}{r}$$


    dove \(r\) è il raggio su cui si muove la carica.
  • Se \(\vec{v}\) e \(\vec{B}\) non sono né perpendicolari né paralleli, abbiamo, scomponendo \(\vec{v}\) in una componente parallela e in una perpendicolare a \(\vec{B}\), che il moto è una composizione dei due moti precedenti, quindi la carica si muove lungo un elica circolare.