Per definire che cos’è il potenziale elettrico bisogna conoscere bene il campo elettrico, che descrive le proprietà di uno spazio caratterizzato da una o più cariche elettriche o da un campo magnetico. Per semplicità nello studio ci poniamo nel caso in cui il campo elettrico è generato da una carica \(Q\). Ricordiamo che, per studiare questo fenomeno, avevamo introdotto una carica di prova \(q\), abbastanza piccola da non influenzare il campo elettrico, posta a una certa distanza dalla nostra carica generatrice così da poter vedere gli effetti del campo su quest’ultima. Per concludere questo breve riepilogo, ricordiamo che il campo elettrico è una grandezza vettoriale che dipende solo dalla carica generatrice \(Q\) .
Fissiamo una carica \(Q\) che genera un certo campo elettrico \(\vec{E}\) e una carica di prova \(q\), allora:
Il potenziale elettrico, nel punto \(P\) in cui poniamo la nostra carica di prova, è definito come il rapporto tra l’energia potenziale nel punto \(P\) e la carica di prova stessa
Chiamando \(U\) l’energia potenziale e \(V\) il potenziale elettrico nel punto \(P\), avremo la seguente formula:
$$V=\frac{U}{q}$$
Facciamo delle prime considerazioni, avendo dato questa definizione. Il potenziale elettrico, a differenza del campo elettrico, è una grandezza scalare che non dipende dalla carica di prova. Infatti, indicata con \(r\) la distanza tra la carica generatrice \(Q\) e la carica di prova \(q\), avremo che l’energia potenziale è uguale a
$$U=\frac{Q q}{4\pi \epsilon r}$$
E di conseguenza per la formula introdotta in precedenza
$$V=\frac{U}{q}=\frac{Q}{4\pi \epsilon r}$$
Da qui l’indipendenza dalla carica di prova.
Nel sistema internazionale si misura in Volt \([v]\), che indica la misura del lavoro fatto dall’energia potenziale \([J]\) (Joule) su la misura della carica \([C]\) (Coulomb).
$$[v]=\frac{[J]}{[C]}$$
Si può calcolare anche il potenziale elettrico per un sistema di cariche \(Q_1,\>…,\>Q_n\), allo stesso modo di come abbiamo fatto per una sola carica generatrice:
- Poniamo una carica di prova \(q\) nel punto \(P\) in cui vogliamo calcolare il potenziale;
- Calcoliamo l’energia potenziale tra \(Q_1\) e \(q\), tra \(Q_2\) e \(q\) ecc. …
- L’energia potenziale complessiva è uguale alla somma di tutte le energie potenziali calcolate nel punto precedente;
- Il potenziale elettrico è uguale all’energia potenziale complessiva sulla carica di prova!
Similmente potevamo direttamente dire che il potenziale elettrico è uguale alla somma di tutti i potenziali delle singole cariche generatrici.
Differenza di potenziale
Poniamoci, come prima, al caso di una carica \(Q\) che genera un certo campo elettrico \(\vec{E}\) e di una carica di prova \(q\).
Se proviamo a spostare la carica di prova da un punto \(A\) (punto iniziale) a un punto \(B\) (punto finale), notiamo che il potenziale nei due punti è differente, poiché l’energia potenziale in essi cambia. In formule abbiamo
$$V_A=\frac{U_A}{q} \quad V_B=\frac{U_B}{q} $$
Possiamo, quindi, definire la differenza di potenziale \(\Delta V\), che si ha dal passaggio da \(A\) a \(B\), come
$$\Delta V = V_B-V_A=\frac{U_B}{q}-\frac{U_A}{q}=\frac{\Delta U}{q}$$
Ora la forza elettrica è una forza conservativa, perciò il lavoro compiuto da una carica non dipende dal percorso fatto. Quindi l’energia potenziale dal punto \(A\) al punto \(B\) equivale a meno del segno al lavoro compiuto dalla forza elettrica dal punto \(A\) al \(B\).
$$\Delta U = -W_{A\to B}$$
E quindi la differenza di potenziale si scrive equivalentemente come
$$\Delta V =-\frac{ W_{A\to B}}{q}$$
Da qui possiamo notare che le cariche elettriche si spostano spontaneamente da un punto all’altro se sono soggette a una differenza di potenziale. In particolare:
- Le cariche positive si muovono spontaneamente da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore;
- Viceversa, le cariche negative si muovono spontaneamente da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.