Una trasformata è un operatore, di solito lineare, che serve a trasformare una funzione in un’altra funzione. Viene usata quando un problema nella funzione di partenza è molto complicato e abbiamo bisogno di trovare una strada più semplice per risolverlo, qui entra in scena quindi l’operatore di trasformata. Riassumendo, se abbiamo un certo problema X complicato, seguiamo il seguente schema:

  • Trasformiamo il problema X complicato nel problema Y con l’operatore trasformata;
  • Risolviamo il problema Y;
  • Antitrasformiamo la soluzione del problema Y nella soluzione del problema X;

La trasformata di Fourier è una trasformata integrale, ossia un operatore lineare che trasforma funzioni in funzioni realizzato tramite un integrale. Diamo la definizione ed alcune proprietà di questo importante operatore, usato soprattutto in fisica per risolvere problemi di teoria dei segnali.

La trasformata di Fourier

Definizione
Sia \(g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}\) una funzione complessa di variabile reale. Se esiste finito l’integrale

$$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t)e^{-i\omega t}\, dt$$


per ogni \(\omega\) numero reale, allora diremo che la funzione \(g\) è trasformabile secondo Fourier. In questo caso la funzione

$$F[g](\omega)=G(\omega)= \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)e^{-i\omega t}\, dt \quad \omega\in\mathbb{R}$$


è detta la trasformata di Fourier di \(g\).

Osserviamo che la trasformata di Fourier, può essere riscritta tramite la formula di Eulero come

$$G(\omega)= \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)(cos(\omega t)-i sin(\omega t)) \, dt$$


e da qui si possono ricavare facilmente tutte le proprietà di simmetria della trasformata.
Un importante classe di funzioni trasformabili secondo Fourier sono le funzioni assolutamente integrabili, ossia:

Definizione
Una funzione \(g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}\) continua a tratti si dice assolutamente integrabile se

$$\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)| \, dt<+\infty$$

Quindi in definitiva:

Condizione sufficiente per la trasformabilità
Se \(g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}\) è una funzione continua a tratti e assolutamente integrabile, allora \(g\) è trasformabile secondo Fourier.

Antitrasformata di Fourier

Se \(G(\omega)=F[g](\omega)\) è una trasformata di Fourier, si definisce l’antitrasformata di Fourier \(g\) come

$$ g(t)= \int_{-\infty}^{+\infty} G(\omega)e^{i\omega t}\, d\omega $$

Proprietà della trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier gode di alcune proprietà importanti che possono essere usate nel calcolo per semplificare i conti…diamo un elenco di queste proprietà!

  • Linearità: Siano \(g\) e \(h\) due funzioni trasformabili secondo Fourier e siano \(G(\omega)\) e \(H(\omega)\) le loro rispettive trasformate allora

    $$F[ag+bh](\omega)= aF[g](\omega)+ bF[h](\omega)$$


    con \(a\) e \(b\) parametri reali.
  • Limitatezza: Se \(g\) è una funzione assolutamente integrabile su tutto il campo dei reali allora la sua trasformata \(G(\omega)\) è una funzione limitata;
  • Inversione degli assi: Se la trasformata di Fourier di \(g(t)\) è \(G(\omega)\), allora la trasformata di \(g(-t)\) è \(G(-\omega)\);
  • Coniugazione complessa: Se la trasformata di Fourier di \(g(t)\) è \(G(\omega)\), allora la trasformata di \(\overline{g(t)}\) è \(\overline{G(-\omega)}\);
  • Teorema del valore finale: Se \(g(t)\) è una funzione reale e \(G(\omega)\) è la sua trasformata allora

    $$ \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\, dt = G(0)$$

  • Riscalamento: Se \(a\neq 0\) è un parametro reale allora

    $$F[g(at)](\omega)= \frac{1}{|a|}G\biggl(\frac{\omega}{a}\biggl)$$

  • Teorema di Parseval: Sia \(g\) una funzione trasformabile secondo Fourier e supponiamo che l’integrale

    $$\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)|^2 \, dt<+\infty$$


    Allora si ha che

    $$\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)|^2 \, dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |G(\omega)|^2 \, d\omega $$

  • Modulazione: Se \(a\) è un parametro reale, si ha

    $$F[g(t)e^{iat}](\omega)= G(\omega - a)$$

  • Traslazione: Se \(a\) è un parametro reale, si ha

    $$F[g(t-a)](\omega)= G(\omega)e^{i\omega a}$$

  • Moltiplicazione per t: Se \(tg(t)\) è una funzione assolutamente integrabile, allora \(G(\omega)\) è derivabile e

    $$ F[tg(t)](\omega)= iG’(\omega)$$

  • Proprietà della derivata: Se \(g(t)\) è una funzione derivabile e \(g’(t)\) è assolutamente integrabile allora

    $$ F[g’(t)](\omega)= i\omega G(\omega)$$

  • Convoluzione: Se \(g(t)\) e \(h(t)\) sono assolutamente integrabili e \(z=g*h\) allora la trasformata di Fourier di \(h(t)\) è uguale al prodotto delle trasformate di \(g(t)\) e \(h(t)\)

    $$ F[g(t)*h(t)](\omega)= G(\omega) H(\omega)$$