In questa lezione parliamo di un argomento centrale di geometria cartesiana: il coefficiente angolare di una retta.
Ti ricorderai che una retta è caratterizzata nella forma esplicita da una equazione della forma

$$ y = mx + q $$

dove con questa scrittura intendiamo tutti i punti del piano (x,y) tali che \(y = mx + q\)
con \( m \) e \( q \) numeri reali qualunque.

Intendiamo cioè tutti i punti del piano che hanno la coordinata y legata alla coordinata x attraverso la precedente equazione.

Esempio

Considera ad esempio la retta

$$ y =2x +3 $$

il punto (1,5) appartiene alla retta perché moltiplicando per 2 la coordinata x e aggiungendo 3 otteniamo la coordinata y.

In altre parole abbiamo

$$ 5 = 2 \times 1 + 3 $$

Passiamo adesso a capire cos’è il coefficiente angolare di una retta.

Coefficiente angolare di una retta

Il coefficiente angolare di una retta non è nient’altro che il numero m dell’equazione precedente. In altre parole il coefficiente angolare di una retta non è altro che il coefficiente che compare davanti alla variabile \(x \).

Esempio

Nell’esempio precedente il coefficiente angolare della retta

$$ y =2x +3 $$

il coefficiente angolare è

$$ m = 2 $$

Il coefficiente angolare indica quanto è inclinata la retta una volta disegnata sul piano cartesiano.

Più il coefficiente angolare sarà grande in modulo più la retta sarà parallela all’asse y, più il coefficiente angolare sarà piccolo più la retta sarà parallela all’asse delle x.

Relazioni tra i coefficienti angolari di due rette

Il coefficiente angolare ci parla di come sono dispposte tra loro due rette nello spazio:

Supponiamo di avere due rette sul piano cartesiano:

$$ y = mx + q \qquad y = m’x + q’ $$

Già solo guardando le equazioni delle due rette riusciamo a capire se le due rette sono parallele o perpendicolari: basta confrontare I due coefficienti angolari.

Nel caso in cui

$$ m = m’ $$

le rette finali saranno parallele

Esempio

Le rette

$$ y =2x + 7 \qquad y = 2x + 2$$

sono parallele.

Invece nel caso in cui m = - \frac1m

le due rette sono perpendicolari

Esempio

$$ y = 2x + 7 \qquad y=-\frac{1}{2} $$

Coefficiente angolare di una retta passante per due punti

Per calcolare il coefficiente angolare di una retta passante per due punti non è necessario scrivere l’equazione della retta, infatti il coefficiente angolare è molto semplice da calcolare.
Il coefficiente angolare è il rapporto tra la differenze tra le coordinate y dei punti e delle differenze tra le coordinate x dei punti.

In formule, dati due punti

$$ (x_1, y_1), \qquad (x_2, y_2) $$

il coefficiente angolare dell’unica retta passante per questi due punti si calcola

$$ m = \frac{ y_1, y_2}{x_1, x_2} $$

In altre parole, dati i due punti uniti, questi due punti formando un triangolo rettangolo in cui l’ipotenusa è proprio il segmento tra questi due punti, il coefficiente angolare non è altro che il rapporto tra I cateti.

Se hai studiato un po’ di trigonometria saprai che questo rapporto non è altro che la tangente dell’angolo tra l’ipotenusa e il cateto che ha come lunghezza la differenze delle x dei due punti.