Cominciamo subito dando una definizione di pentagono dal punto di vista della geometria. Il pentagono è un poligono che conta cinque lati e cinque angoli, congruenti o meno, regolare o irregolare. Esso può essere concavo o convesso, semplice o complesso (intrecciato).

Il pentagramma è un caso particolare di pentagono intrecciato che si ottiene da un pentagono regolare i cui lati sono estesi o disegnandone le diagonali. Si tratta della cosiddetta stella a cinque punte che può essere ripetuta all’infinito all’interno di un pentagono.
La somma degli angoli interni di un pentagono è pari a 540°.

Andiamo ora a vedere le proprietà del pentagono e quali formule utilizzare per calcolare area e perimetro.

Proprietà di un pentagono regolare

Un pentagono regolare ha una serie di proprietà:

  • Un pentagono regolare si può sia circoscrivere che inscrivere ad una circonferenza;
  • Ogni pentagono ha un numero di diagonali pari a 5 e per ognuno dei suoi vertici passano 2 diagonali;
  • Se si congiunge il centro del pentagono con i suoi vertici si ottengono 5 triangoli isosceli. Ognuno di questi triangoli avrà gli angoli alla base pari a 54° e l’angolo al vertice pari a 72°;
  • L’apotema del pentagono (che sarebbe il raggio della circonferenza inscritta) coincide con l’altezza dei triangoli isosceli;
  • Il centro del pentagono si definisce come punto di intersezione tra gli assi dei suoi lati o tra le bisettrici degli angoli interni. Esso, inoltre, è il centro sia della circonferenza inscritta che di quella circoscritta al pentagono;
  • 540° è quanto vale la somma degli angoli interni del pentagono;
  • 360° è quanto vale la somma degli angoli esterni del pentagono;
  • Ogni pentagono regolare ha 5 assi di simmetria che corrispondono ai 5 assi dei suoi lati.

Vediamo ora le formule del pentagono, specificando che si intende un pentagono regolare. Nel caso di un pentagono qualsiasi non sussistono particolari regole. Prima di rendere noto come si calcolano area e perimetro del pentagono, procediamo a stabilire che:

  • L equivale al lato del pentagono
  • a equivale all’apotema del pentagono
  • 2p equivale al perimetro
  • A equivale all’area

Formule pentagono: come calcolare l’area

Come si calcola l’area di un pentagono regolare? Vediamo la formula:

$$ A = 2p\times a: 2$$

Posta la formula, vediamo un esempio considerato un pentagono con \( 2p = 25\) cm e \(a = 6 cm\)

Il calcolo dell’area di questo specifico pentagono sarà:

$$ A = 25 cm \times 6 cm : 2 = 150 cm : 2 = 75 cm^2$$

Da questa formula è possibile ricavarne anche due inverse:

  • Apotema con dati area e perimetro: \(a = 2A :2p\)
  • Perimetro del pentagono con apotema: \( 2p = 2A:a\)

Formule pentagono: come calcolare il perimetro

Il perimetro, cioè la somma dei cinque lati del pentagono, si può calcolare - dato il lato - con la seguente formula:

$$2p = 5L$$

Data la formula, calcoliamo il perimetro di un pentagono di \(L = 8 m\).

$$ 2p = 5\times 8 = 40 m$$

Da questa formula è possibile ricavare la formula inversa per ottenere, dal perimetro, un singolo lato:

$$ L = 2p: 5$$