Il teorema di Pitagora è un teorema fondamentale della geometria euclidea nel piano che stabilisce una relazione tra i lati di un triangolo rettangolo. Conoscendo la misura di almeno due lati del triangolo rettangolo (o i due cateti o un cateto e l’ipotenusa), è possibile trovare la misura del lato incognito. Diamo un enunciato del teorema:

Enunciato

“In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa e uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.”
Bene! Ora traduciamo queste parole in linguaggio matematico…
Sia \(ABC\) un triangolo rettangolo con angolo retto in \(\hat{B}\).

Allora:

$$ (\bar{AC})^2=(\bar{AB})^2+(\bar{BC})^2$$


notiamo che \((\bar{AC})^2\), \((\bar{AB})^2\) e \((\bar{BC})^2\) sono le aree dei quadrati costruiti rispettivamente su \(\bar{AC}\), \(\bar{AB}\) e su \(\bar{BC}\).
Da questa relazione, grazie all’estrazione a radice quadrata e alla lunghezza positiva del lato di un triangolo rettangolo (ci serve per escludere la soluzione negativa dell’estrazione a radice), abbiamo la lunghezza dei vari lati:

$$ \bar{AC}=\sqrt{(\bar{AB})^2+(\bar{BC})^2}$$


$$ \bar{AB}=\sqrt{(\bar{AC})^2-(\bar{BC})^2}$$


$$ \bar{BC}=\sqrt{(\bar{AC})^2-(\bar{AB})^2}$$


Diamo una dimostrazione del teorema.

Dimostrazione

Per dimostrare il risultato vogliamo sfruttare il primo teorema di Euclide. Quindi tracciamo l’altezza, oppure detta la perpendicolare o proiezione, dal vertice \(B\) sul lato \(\bar{AC}\). Chiamiamo il punto d’incontro con l’ipotenusa, \(\bar{AC}\), \(H\) e la prolunghiamo in modo tale che il quadrato sull’ipotenusa sia suddiviso in due rettangoli di area rispettivamente:

$$ (\bar{AH})(\bar{AC})\>e\> (\bar{HC})(\bar{AC})$$



Ora per il primo teorema di Euclide abbiamo che l’area del quadrato costruito su un cateto è uguale all’area del rettangolo avente come base e altezza, l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa. Cioè, in questo caso, abbiamo:

$$ (\bar{AH})(\bar{AC})=(\bar{AB})^2$$


E sempre per lo stesso motivo:

$$ (\bar{HC})(\bar{AC})=(\bar{BC})^2$$


Quindi, sommando membro a membro le due uguaglianze, avremo:

$$ (\bar{AH})(\bar{AC})+(\bar{HC})(\bar{AC})=(\bar{AB})^2 +(\bar{BC})^2$$


Ma \((\bar{AH})(\bar{AC})+(\bar{HC})(\bar{AC})\) non è altro che l’area del quadrato costruito su \(\bar{AC}\) e quindi abbiamo la relazione:

$$ (\bar{AC})^2=(\bar{AB})^2+(\bar{BC})^2$$


E questo conclude la dimostrazione.

Applicazioni ed esempi

La sua importanza è rilevante in matematica, andiamo a vedere alcune sue applicazioni:
Distanza tra due punti nel piano cartesiano
Quando andiamo a fare la distanza tra due punti non facciamo altro che applicare il teorema di Pitagora sul segmento generato dalla proiezione dei punti sull’asse delle ascisse e sul segmento generato dalla proiezione dei punti sull’asse delle ordinate. In formule, se prendiamo \(A=(x_1,y_1)\) e \(B=(x_2,y_2)\) due punti generici nel piano, la loro distanza sarà:

$$d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+ (y_2-y_1)^2}$$


Figure geometriche
Può essere applicato ogni qual volta che, scomponendo una figura, si ottiene un triangolo rettangolo. Facciamo degli esempi per chiarire il concetto:

  • Trovare la diagonale \(d\) di un quadrato di lato \(l\):
    Tracciando la diagonale, in un quadrato, avremo due triangoli rettangoli, di cui un singolo triangolo avrà i cateti di lunghezza \(l\) e quindi la diagonale sarà uguale alla lunghezza dell’ipotenusa del triangolo:

    $$d=\sqrt{l^2+l^2}=l\sqrt{2}$$

  • Trovare l’altezza \(h\) di un triangolo equilatero di lato \(l\):
    Tracciando l’altezza, in un triangolo equilatero, avremo due triangoli rettangoli, di cui un singolo triangolo avrà ipotenusa uguale a \(l\) e un cateto uguale a \(\frac{l}{2}\). L’altezza sarà uguale alla lunghezza del cateto rimanente:

    $$h=\sqrt{l^2-\biggl(\frac{l}{2}\biggl)^2}=\biggl(\frac{l}{2}\biggl)\sqrt{3}$$