Cosa sono i teoremi di Euclide? Si tratta di due risultati importantissimi che mettono in relazione le misure di ipotenusa, cateti e altezza di un triangolo rettangolo con le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Questi due teoremi rientrano senz’altro tra quelli fondamentali della geometria piana ed è stato Euclide a dare il maggiore contributo.
Teoremi di Euclide: premessa
Per arrivare a parlare dei risultati è necessario fare una premessa, ovvero chiarire cosa si intende con “proiezione dei cateti sull’ipotenusa”.
Se consideriamo un triangolo ABC che è rettangolo in A andiamo a tracciare l’altezza relativa all’ipotenusa chiamando H il suo piede. Il punto H divide l’ipotenusa in due segmenti che non sono necessariamente congruenti e che prendono il nome di BH e CH.
Di questi due cateti si dice che CH sia la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa mentre BH sia la proiezione del cateto AB sull’ipotenusa. La somma delle misure delle proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa coincide con la misura dell’ipotenusa. In maniera intuitiva si può pensare che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa siano delle ombre proiettate dai cateti sull’ipotenusa come se fosse un terreno.
Vediamo ora gli enunciati del primo teorema di Euclide e del secondo teorema di Euclide.
Enunciato e formule primo teorema di Euclide
Il primo teorema di Euclide sostiene quanto segue:
in un triangolo rettangolo ABC, retto in A, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa
Tramite questo teorema vengono messi in relazione tre elementi del triangolo rettangolo, ovvero l’ipotenusa, un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa.
La formula del teorema di Euclide è:
$$AB^2 = BH x BC$$
$$AC^2 = CH x BC$$
Esiste anche un’altra formulazione del primo teorema di Euclide, ovvero:
in un triangolo rettangolo, ciascun cateto è il medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa. A livello di formule si traduce in:
$$BC : AB = AB : BH$$
$$BC : AC = AC : CH$$
Enunciato e formule primo teorema di Euclide
Vediamo ora cosa sostiene il secondo teorema di Euclide, che enuncia le relazioni che legano l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo con le sue proiezioni. L’enunciato è il seguente:
in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
A livello di formule ciò si scrive:
$$AH^2 = BH x CH$$
Anche in questo caso esiste una proporzione che può esprimere questo teorema:
$$CH : AH = AH : BH$$