Le trasformazioni sono delle funzioni usate in geometria per mettere in relazione gli elementi di un qualsiasi spazio euclideo, cioè uno spazio composto da \(n\)-ple di numeri reali
$$(x_1,x_2,…..,x_n)\quad x_i\>numeri\>reali\>i=1…n$$
e dotato di un prodotto interno usato per definire i concetti di distanza, lunghezza e angolo, a un altro spazio euclideo. La notazione può essere generalizzata, ma ci mettiamo in uno spazio che ci è comodo. Ci sono diverse tipologie di trasformazioni ma ci concentreremo sul definire che cos’è una trasformazione affine e di conseguenza un’affinità.
Osserviamo, prima di tutto, che uno spazio euclideo è un esempio particolare di spazio affine. Tralasciamo la definizione di spazio affine e le proprietà derivanti da esso.
Definiamo, in generale, che cos’è una trasformazione affine tra due spazi euclidei:
Una trasformazione affine nello spazio euclideo è la composizione di una trasformazione lineare e una traslazione
Denotando con \(L\) una qualunque trasformazione lineare e con \(T_v\) una traslazione per un certo vettore \(v\) avremo che
$$A=T_v\circ L $$
Un’affinità è una trasformazione affine di uno spazio euclideo in se stesso che è anche una applicazione biettiva e preserva il parallelismo tra rette, cioè se abbiamo due rette parallele in partenza queste vengono mandate tramite l’affinità in due rette parallele
Una prima osservazione importante da fare è che le affinità conservano il parallelismo tra rette ma non conservano le distanze e gli angoli, cioè non sono delle isometrie in generale.
Per chiarire il concetto, consideriamo una trasformazione lineare nel piano cartesiano. Questa trasforma rette in rette e fissa l’origine. Per le affinità abbiamo visto che c’è una traslazione, perciò il sistema cartesiano in cui ci trovavamo in partenza è traslato e l’affinità trasforma di nuovo rette in rette ma NON fissa l’origine.
Vediamo come sono fatte questo tipo di trasformazioni…
Sia A un’affinità del piano
$$A\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad (x,y)\mapsto (x’,y’) $$
Questa trasforma un qualsiasi punto \(P=(x,y)\) in un altro punto \(P’=(x’,y’)\) del piano tramite \(A\)
$$A(P)=P’,\quad A((x,y))= (x’,y’)$$
e \(A\) è per definizione la composizione di una trasformazione lineare, denotata con la matrice \(L\), e una traslazione \(T_v\) per un vettore \(v\)
$$ P’=A(P)= L\cdot P+v$$
$$\begin{bmatrix} x’\\ y’ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}$$
dove la matrice \(L\) determinata dalle sue componenti reali \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) ha determinante diverso da zero, cioè
$$ad-bc\neq 0$$
Scritto sotto forma di sistema avremo il seguente
$$\begin{cases} x’=ax+by+v_1\\ y’=cx+dy+v_2 \end{cases}$$
Questo ci individua tutti I punti dello spazio di arrivo perchè l’affinità è una trasformazione biettiva.
Poiché \(L\) ha determinante diverso da zero, abbiamo,inoltre, che questa matrice è invertibile e perciò possiamo trovare facilmente la trasformazione inversa dell’affinità \(A\) e la denotiamo con \(A^{-1}\)
$$ P=A^{-1}(P’)= L^{-1}\cdot P’-L^{-1}\cdot v$$
Proprietà delle affinità
Elenchiamo alcune proprietà fondamentali derivanti quasi tutte dalla conservazione del parallelismo e dalla biettività della trasformazione:
- Le rette vengono trasformate in rette, cioè punti allineati nello spazio di partenza vengono trasformati in altrettanti punti allineati nello spazio di arrivo;
- Tre punti non allineati vengono trasformati in tre punti non allineati, in altre parole i triangoli vengono trasformati in triangoli. Si può dimostrare, in generale, che se abbiamo \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\) e \(Q_1\), \(Q_2\) e \(Q_3\) terne di punti non allineati, esiste un’unica affinità che porta i punti \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\) nei punti \(Q_1\), \(Q_2\) e \(Q_3\);
- Il punto medio di un segmento \(PQ\) viene trasformato nel punto medio del segmento \(A(P)A(Q)\);
- Il punto d’intersezione \(P\) di due rette \(r\) e \(s\) viene trasformato nel punto d’intersezione \(P’=A(P)\) delle rette trasformate \(r’\) e \(s’\);
- Rette parallele vengono trasformate in rette parallele;
- L’area di un triangolo \(Ar_T\) viene trasformata nell’area del triangolo \(Ar_{T’}\) tramite la formula
$$Ar_{T’}=[det(L)]\cdot Ar_T$$
dove (L) è la matrice vista in precedenza;
Infine elenchiamo questa ultima proprietà, derivante dalla composizione di due affinità:
- La composizione di due affinità rimane un affinità con matrice dei coefficienti data dal prodotto delle matrici delle affinità. Cioè:
Data \(A_1\) con matrice dei coefficienti \(L_1\) e \(A_2\) con matrice dei coefficienti \(L_2\), la composizione \(A_1\circ A_2\) sarà un affinità con matrice dei coefficienti uguale a \(L_1\cdot L_2\);