Il cilindro è un solido di rotazione, ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno al suo lato (o una delle basi o una delle altezze). Il lato intorno a cui avviene la rotazione viene detto altezza del cilindro. Prima di vedere la formula del suo volume, andiamo a vedere un po’ le sue caratteristiche:

  • Le basi sono due circonferenze disposte su due piani paralleli tra loro;
  • L’altezza è asse di simmetria per il cilindro;
  • Se diametro di base e altezza del cilindro sono congruenti, il cilindro si dice cilindro equilatero;

Volume del cilindro

Per calcolare il volume del cilindro bisogna conoscere l’area di base, ovvero l’area della circonferenza che sta alla base, e l’altezza del cilindro. Avendo queste informazioni possiamo scrivere la formula generale del volume:

$$V=S_B\cdot h$$


con \(V\) volume del cilindro, \(S_B\) l’area di base (o superficie della base) e \(h\) l’altezza del cilindro.
Andiamo a vedere come ricavare la formula generale del volume avendo informazioni iniziali differenti.

Volume del cilindro conoscendo il raggio della base e l’altezza
Se abbiamo il raggio di base \(r\) basta ricavarci l’area con la solita formula della circonferenza:

$$S_B=\pi r^2$$


a questo punto sostituendo alla formula generale:

$$V=\pi r^2 h$$

Volume del cilindro conoscendo il diametro della base e l’altezza
Come prima dobbiamo trovare l’area di base. Conoscendo il diametro di base \(d\), dobbiamo ricavare il raggio \(r\) per poi applicare la formula dell’area di una circonferenza. Ricordiamo che il raggio di una circonferenza è uguale a metà del suo diametro:

$$r=\frac{d}{2}$$


Siamo ora nel caso precedente! Quindi, avremo:

$$S_B=\pi r^2=\pi \biggl(\frac{d}{2}\biggl)^2$$


$$V=\pi \biggl(\frac{d}{2}\biggl)^2 h$$

Volume del cilindro conoscendo il perimetro di base e l’altezza
Abbiamo il perimetro di una circonferenza! Usiamo, per trovare il raggio, la formula:

$$r=\frac{C}{2\pi}$$


con \(C\) il perimetro della circonferenza. Siamo, di nuovo, tornati al caso precedente e il volume sarà:

$$V=\pi \biggl(\frac{C}{2\pi}\biggl)^2 h$$

Volume del cilindro conoscendo la superficie laterale e l’altezza
Ricordiamo che la superficie laterale \(S_L\) si ricava dalla seguente formula:

$$S_L=C \cdot h$$


con \(C\) perimetro di base e \(h\) altezza del cilindro. Possiamo, quindi, ricavare il perimetro dalla formula inversa:

$$C=\frac{S_L}{h}$$


e siamo nel caso che abbiamo perimetro di base e altezza:

$$V=\pi \biggl(\frac{\frac{S_L}{h}}{2\pi}\biggl)^2 h$$

Volume del cilindro conoscendo la superficie laterale e il perimetro di base
Stavolta ricaviamo l’altezza:

$$h=\frac{S_L}{C}$$


ricadiamo sempre nello stesso caso di prima e abbiamo:

$$V=\pi \biggl(\frac{C}{2\pi}\biggl)^2 \frac{S_L}{C}$$

Volume conoscendo il raggio e il perimetro del rettangolo che genera il cilindro
Nei casi precedenti dovevamo trovare il raggio, quindi il problema si riduceva a usare le formule della circonferenza per farlo. Stavolta abbiamo il raggio \(r\) e il perimetro del rettangolo generatore \(P\). Possiamo notare che il raggio non è altro che un lato del rettangolo generatore, quindi basta usare le formule sul rettangolo per trovare l’altezza! Dalle formule sul perimetro abbiamo:

$$\frac{P}{2}={base}+{altezza}$$


ponendo il raggio uguale alla base di questo rettangolo e notando che l’altezza del rettangolo, a questo punto, non è altro che l’altezza \(h\) del cilindro:

$$h=\frac{P}{2}-r$$


e sostituendo alla formula generale:

$$V=\pi r^2 \biggl(\frac{P}{2}-r\biggl) $$

Volume conoscendo il raggio e l’area del rettangolo che genera il cilindro
Facendo le stesse osservazioni del caso precedente e sfruttando la formula dell’area del triangolo rettangolo abbiamo:

$$h=\frac{A}{r}$$


con \(A\) area del triangolo rettangolo generatore, \(r\) raggio di base del cilindro e \(h\) altezza del cilindro. Sempre dalla formula generale:

$$V=\pi r^2 \biggl(\frac{A}{r}\biggl) $$